Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person krank ist, wenn sie positiv getestet wurde?

Question

Aufgabe:

Eine bestimmte Krankheit trete mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.1 auf. Ein Test falle bei an ihr erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit
p € [0, 1] positiv und bei nicht erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit q € [0, 1]
positiv aus.

##### a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufallig ausgewählte Person positiv getestet wird. Geben Sie das Ergebnis in abhängigkeit von p und q an.

##### b) Wie groß ist die Wahrscheiniichkeit, dass eine zufällig azsgewählte Person gleichzeitig negativ getestet wird und nicht krank ist. Geben Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von p und q an.

##### c) Sei p = 0.9 und q = 0.3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person krank ist, wenn sie positiv getestet wurde?

##### d) Sei p = 0.9 und q = 0.3. Eine zufällig ausgewählte Person wurde positiv getestet. Ein zweiter Test fällt auch positiv aus. Wie gross ist die Wahrscheirilichkeit, dass die Person krank ist?

Problem/Ansatz:

a) 1/10 * p + 9/10 * q

b) Einfach nur: 9/10 * (1-q)
Oder vielleicht: (9/10 * (1-q)) / (9/10 * (1-q) + 9/10 * q + 1/10 * (1-p) + 1/10 * p ) ?

c) (1/10 * p) / (1/10 * p + 9/10 * q)
Werte einsetzen: Ergebnis = 1/4

d) (1/10 * p^2) / (1/10 * p^2 + 9/10 * q^2)
Werte einsetzen: Ergebnis = 1/2

Schaut das richtig aus?

Comments

Mit einem Baumdiagramm kannst du dir den Sachverhalt gut veranschaulichen.

Answer 1

Eine bestimmte Krankheit trete mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 auf. Ein Test falle bei an ihr erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit p € [0, 1] positiv und bei nicht erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit q € [0, 1] positiv aus.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufallig ausgewählte Person positiv getestet wird. Geben Sie das Ergebnis in abhängigkeit von p und q an.

0.1*p + 0.9*q

b) Wie groß ist die Wahrscheiniichkeit, dass eine zufällig azsgewählte Person gleichzeitig negativ getestet wird und nicht krank ist. Geben Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von p und q an.

0.9*(1 - q)

c) Sei p = 0.9 und q = 0.3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person krank ist, wenn sie positiv getestet wurde?

0.1*0.9 / (0.1*0.9 + 0.9*0.3) = 0.25

d) Sei p = 0.9 und q = 0.3. Eine zufällig ausgewählte Person wurde positiv getestet. Ein zweiter Test fällt auch positiv aus. Wie gross ist die Wahrscheirilichkeit, dass die Person krank ist?

0.1*0.9*0.9 / (0.1*0.9*0.9 + 0.9*0.3*0.3) = 0.5

Deine Ergebnisse sehen also alle richtig aus.