Wie kann man Dimension und Basis von Kern Ker(f) bestimmen? f(x)=Ax und A ist Matrix?

Question

a) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=A x \) gegeben durch die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{lll} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie Dimensionen und Basen des Kerns Ker ( \( f \) ) bzw. des Bildes Im(f) und überprüfen Sie \( f \) auf Injektivität bzw. Surjektivität!

b) Auf dem Vektorraum \( \mathbb{R}_{3}[x] \) der reellwertigen Polynome \( p \) vom Grad \( n_{p} \leq 3 \) betrachten wir die Ableitungsabbildung \( f: \mathbb{R}_{3}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{3}[x], f(p)=p^{\prime} \) sowie die Komposition \( g=f \circ f \).

Bestimmen Sie Dimensionen und Basen des Kerns Ker ( \( g \) ) bzw. des Bildes Im(g)! 

Wie kann ich a) lösen?

Wie kann man Dimension und Basis von Kern Ker(f) bestimmen? f(x)=Ax und A ist Matrix?

Comments

Wie kann man Dimension und Basis von F bestimmen?

Davon steht in der Aufgabe nichts!

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EDIT: Überschrift geändert. 

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Und wie löse ich die Aufgabe? teil a

Answer 1

(a)

f : R³ → R²

f(x) = Ax

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & \quad 2 & \quad 3 \\ 4 & \quad 5 & \quad 6 \end{pmatrix}  $$ 

$$\\ f \left( \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix}  \right)  =  \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & +\quad 2{ x }_{ 2 } & +\quad 3{ x }_{ 3 } \\ 4{ x }_{ 1 } & +\quad 5{ x }_{ 2 } & +\quad 6{ x }_{ 3 } \end{pmatrix}\quad $$

Treppennormalform von A:

$$\\ \quad \begin{pmatrix} 1 & \quad 0 & -1 \\ 0 & \quad 1 & \quad 2 \end{pmatrix} \\ \\ \\ $$

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$$ker(f)= \left<  \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right>  $$  

Und da ein Vektor im Kern außer dem Nullvektor linear unabhängig ist, ist der Vektor eine Basis des Kernes.

dim(ker(f)) = 1

f ist injektiv: Kern besteht nur aus dem Nullvektor → f ist nicht injektiv

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$$ Bild(f) =\left<  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}   , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}   \right>  $$

Und da die zwei Vektoren im Bild linear unabhängig sind sie eine Basis des Bildes.

dim(Bild(f)) = 2

f ist surjektiv: dim(Bild(f)) = dim(R²) , dann ist Bild(f) = R² → f ist surjektiv