Hallo Rokko,
der Kern von B ergibt sich aus dem LGS
B * [ x, y, z, w ]T = [ 0, 0, 0 ]
⎡ 3 -5 -3 4 | 0 ⎤
⎢ 1 -1 0 0 | 0 ⎥
⎣ 4 -2 3 -4 | 0 ⎦
Gauß-Algorithmus:
⎡ 3 -5 -3 4 | 0 ⎤
⎢ 1 -1 0 0 | 0 ⎥
⎣ 7 -7 0 0 | 0 ⎦ Z3 + Z1
⎡ 3 - 5 -3 4 | 0 ⎤
⎢ 1 -1 0 0 | 0 ⎥
⎣ 0 0 0 0 | 0 ⎦ Z3 - 7*Z2
Z3, Z2 → w und z sind frei wählbar
Z2 → y = x
Z1 → -2x = - 4w + 3z → x = -1/2 * (- 4w + 3z )
Lösung:
mit z,w ∈ ℝ ergibt sich
Kern von B =
{ \(\begin{pmatrix} 2 w - 3/2 z \\ 2 w -3/2 z \\ z \\ w \end{pmatrix}\) } = { z * \(\begin{pmatrix} -3/2 \\ -3/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + w * \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) }
2 (linear unabhängige!) Basisvektoren von kern(B)
→ Dimension des Kerns = 2
b)
Dimensionssatz:
dim(Bild) = dim(V) - dim(Kern) = 4 - 2 = 2
Das Bild der Abbildung ergibt sich aus
B * [ x, y, z, w ]T = [ 3·x - 5·y - 3·z + 4·w , x - y , 4·x - 2·y + 3·z - 4·w ]T
= x * [ 3 , 1 , 4 ]T + y * [ -5 , -1 , -2 ]T + z * [ -3 , 0 , 3 ]T + w * [ 4 , 0 , - 4 ]T
Wegen dim(BIld) = 2 sind genau 2 der 4 erzeugenden Vektoren linear unabhängig.
Deshalb ist z.B. { [ 3 , 1 , 4 ]T ; [ -5 , -1 , -2 ]T } eine Basis des Bildes.
Gruß Wolfgang