Basis und Dimension von span angeben und vervollständigen

Question

Hallo könnte mir jemand folgende Aufgabe vorrechnen danke

Aufgabe G 1
Die Menge \( U:=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{3} \\ {8} \\ {-1}\end{array}\right)\right\} \) ist ein Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \)

a) Geben Sie eine Basis von \( U \) an.
b) Bestimmen Sie die Dimension von \( U \)
c) Vervollständigen Sie ggf. die Basis von U aus Teil a) zu einer Basis des \( \mathrm{R}^{3} \).

 

Comments

Tipp: \(\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\8\\-1\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\).

Answer 1

Der Tipp zeigt:

Der 2. erzeugende Vektor lässt sich durch die anderen

beiden darstellen.

Diese beiden sind aber lin. unabh. bilden also

eine Basis von U

Also dim = 2

Und wenn du statt des zweiten

0
1
0

nimmst, bilden diese drei eine Basis von R3.

Comments

Aber von wo weiß man, dass man genau (0,1,0)^T  nehmen muss? Wenn man den obrigen Tipp nicht sofort sieht, wie kann ich das sonst zeigen?

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Du kannst auch (per Gaußalgorithmus) prüfen, ob \( \lambda = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) die einzige Lösung von \( A \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) ist, mit \( A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ -2 & 3 & 8\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} \).
Wenn ja, sind die drei Vektoren eine Basis von U und IR³. Wenn nicht, ist Rg(A) < 3 z.B. Rg(A) = 2, dann ist dim(U) = 2 und Du musst zwei linear Unabhängige Vektoren aus U finden. Die sind dann eine Basis von U, die Du um einen Vektor zur Basis von  IR³ ergänzen kannst.

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Du kannst auch einen anderen, etwa  (1,0,0)^T  nehmen .

Es geht ja nur darum, dass er mit den anderen beiden linear

unabhängig ist.