Bestimmen Sie die Dimension von V indem Sie eine Basis angeben.

Question

Aufgabe:

Sei V der Untervektorraum des IR-Vektorraums der differenzierbaren Funktionen gegeben durch

V := span{(t-5)\( e^{t} \), (t+1)\( e^{t} \)+\( e^{2t} \),\( e^{2t} \),\( e^{t} \)}.

Bestimmen Sie die Dimension von V (indem Sie eine Basis angeben. Beweisen Sie das dies eine Basis ist).

Problem/Ansatz:

\( \begin{pmatrix} t-5 & 0 \\ t+1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{pmatrix} \)

Somit ist die Dimension 2 und {\( e^{t} \),\( e^{2t} \)} eine Basis. (Ich bin sehr unsicher ob dies eine Lösung ist)

Answer 1

Die beiden Funktionen, die eine Basis bilden sollen müssen

1. linear unabhängig sein.

  Das kannst du beweisen über

a*e^t + b*e^(2t) = 0 für alle t   ==>   a = b = 0 .

2. den Unterraum erzeugen. Dazu reicht es die anderen

beiden erzeugenden aus span{(t-5)\( e^{t} \), (t+1)\( e^{t} \)+\( e^{2t} \),\( e^{2t} \),\( e^{t} \)}

mit den beiden darzustellen.  Das gelingt aber doch nicht.

Du musst schon t*e^t dazu nehmen.

Also 3-dim .