Kern bestimmen und injektivität prüfen - 4x3 Matrix

Question

Aufgabe:

A=\( \begin{pmatrix} 6x &+ 3y &- 5z \\1x &+ y &- z \\ 2x &- y &  \\  &9y &- 2z \\ \end{pmatrix} \)

Bestimme Kern(A) und prüfe ob A injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Wie soll ich den Kern bestimmen? Ich komm leider nicht zu einer Zeilenstufenform.
Wie kann ich prüfen, ob etwas, in dem Fall die Aufgabe, injektiv ist?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bestimmung des Kerns

Der Kern enthält alle Vektoren \((x;y;z)^T\), die auf den Nullvektor abgebildet werden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline6 & 3 & -5 & 0 &-6 Z_2\\1 & 1 & -1 & 0 \\2 & -1 & 0 & 0 & -2Z_2\\0 & 9 & -2 & 0\\\hline0 & -3 & 1 & 0 &\\1 & 1 & -1 & 0 \\0 & -3 & 2 & 0 &-Z_1\\0 & 9 & -2 & 0 & +3Z_1\\\hline0 & -3 & 1 & 0 &-Z_3\\1 & 1 & -1 & 0 &+Z_3 \\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 5 & 0 &-5Z_3\\\hline0 & -3 & 0 & 0 &\div(-3)\\1 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 &-Z_1\\0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow y=0\\1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x=0\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$Die 4-te Gleichung ist immer erfüllt, die ersten 3 Gleichungen liefern: \(\pink{\text{Kern}(\alpha)=\{0\}}\).

Prüfen auf Injektivität

Seien \(x,y\in V\) mit \(\alpha(x)=\alpha(y)\), dann gilt:$$\alpha(x)=\alpha(y)\implies0=\alpha(x)-\alpha(y)\stackrel{(\text{\(\small \alpha\) linear})}{=}\alpha(x-y)\implies x-y\in\pink{\text{Kern}(\alpha)}$$$$\phantom{\alpha(x)=\alpha(y)}\implies x-y=\pink{0}\implies x=y$$

Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält (bzw. den Nullvektor), ist \(\alpha\) injektiv.

Answer 2

Sortiere erstmal die Gedanken. Eine Aufgabe kann nicht injektiv sein.

Eine lin. Abb. kann man als Funktionsvorschrift angeben, oder als Matrix. Du hast beides kombiniert, das läd natürlich Verwirrung ein.

Wenn Du Dich für die Matrixform entscheidest: Da hat x,y,z nichts drin zu suchen. Und dann, ja, auf ZSF bringen. Bei mir klappt das.

Eine lin.Abb. ist injektiv \(\iff kern\, A \neq \{0\}\).

Der Nullvektor ist stets im Kern. Wenn man also einen zweiten Vektor im kern findet, kann die Abb. nicht injektiv sein. Daher brauchst Du auch kein LGS komplett zu lösen, sondern nur eine Lösung finden.

Answer 3

Für die letzten 3 Zeilen der Koeffizientenmatrix gilt$$\det\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\2&-1&0\\0&9&-2\end{array}\right)=-12\neq 0$$Damit hat die Matrix mindestens den Rang 3, also

maximalen Rang und hat damit einen Kern der Dimension 0,

Die lineare Abbildung ist also injektiv.