Zeige, dass U unitär ist und U^{-1} = U. (Skalarprodukt im komplexen Raum)

Question

Aufgabe:

Sei ℂⁿ mit dem Standard Skalarprodukt versehen.

a) Sei f : ℂⁿ → ℂⁿ eine Isometrie. Zeige, dass jeder Eigenwert λ von f den Betrag 1 hat, d. h. ΙλΙ = 1.

b) Sei u ∈ ℂⁿ mit     II u II = 1 und definiere \( U: I d_{n}-2 u \cdot \bar{u}^{\top} \in \mathbb{C}^{n \times n} \)

Zeige, dass U unitär ist und U^-1= U.

Answer 1

Aufgabe a)

v,w aus C^n   ist * das Skalarprodukt, dann ist   |v| = √( v*v)

also | v-w| = √ ( (v-w)*(v-w) )

und | f(v) - f(w) | = √ ( f(v) - f(w) ) *(f(v) - f(w) )  )

und wenn k ein Eigenwert ist und v und w Eigenvektoren, dann gilt:

f(v) = k*v     und     f(w)=k*w

also:

| f(v) - f(w) |

= √ ( f(v) - f(w) ) *(f(v) - f(w) )  )

= √ ( k*v - k*w) * (k*v - k*w)   ) 

= √ ( k*(v -w) * k*(v - w)   ) 

= √ ( k^2 *(v -w) *(v - w)   ) 

= √ ( k^2 ) * √((v -w) *(v - w)   )

= √ ( k^2 ) *   | v-w|

und wegen der Isommetrie ist:

| v-w| =  | f(v) - f(w) |

also √( k^2 ) = 1   also |k|=1

Aufgabe b)

wenn u die Spalte mit u1,u2,u3,....,un ist dann ist u quer transponiert die

Zeile u1,u2,u3,....,un die roten sollen mit Querstrich drüber sein.

Das Produkt ist dann die Matrix V =

u1*u1        u1*u2       u1*u3        ..................... u1*un

u2*u1         u2*u2       u2*u3        ..................... u2*un

u3*u1         u3*u2       u3*u3        ..................... u3*un

....................................................................................

un*u1         un*u2       un*u3        ..................... un*un

  

Naja und Id_n - 2*V ist also große U . Um zu zeigen, dass dies

unitär und zu sich invers ist, muss man also U*U^H = E und U*U=E

zeigen. Für das 2. habe ich vielleicht eine Idee:

für V*V muss man ja immer eine Zeile von V mit einer Spalte von V

multiplizieren also z.B. 1. Zeile mal 2. Spalte gäbe

u1*u1*u1*u2 + u1*u2*u2*u2 + u1*u3*u3*u2 + ...

In der ersten Zeile haben alle den Faktor u1 und in der 2. Spalte alle den Faktor u2

man kann also u1*u2 ausklammern und in der Klammer bleibt

u1*u1+u2*u2  + u3*u3 +...................un*un und das ist    II u II^2 = 1

also ist die Klammer = 1 und das Ergebnis 1. Zeile mal 2. Spalte ist also

nur das ausgeklammerte u1*u2 und das ist genau das gleiche Element

wie in der Matrix V.   Wenn man das allgemein mit i-te Zeile mal j-te Spalte macht, erhält

man V*V = V.

Dann ist aber leicht: U * U = (Id_n - 2*V)*( Id_n - 2*V)

                                              = Id_n^2 - 2*V* Id_n -2* Id_n *V + 4*V*V

                                                    = Id_n - 2*V -2*V + 4*V*V

                                                    = Id_n - 2*V -2*V + 4*V     wegen V*V=V

                                                   = Id_n    Also ist U^-1 = U.

Das andere geht vielleicht so ähnlich.

Comments

Wow vielen Dank, darauf wäre ich nie gekommen.

Ist U nicht automatisch unitär wenn U^-1 =U ist?