Darstellungs- und Übergangsmatrix bestimmen

Question

Sei \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung gegeben durch

\( \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x+y \\ y+2 z \\ x+z \end{array}\right), \)
sowie \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) und \( \mathcal{C}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \) Basen von \( \mathbb{R}^{3} \), wobei
\( b_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), c_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), c_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) . \)
Des weiteren sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).
(a) Geben Sie die Dartstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \) an und begründen Sie, dass \( T \) bijektiv ist.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \), d. h. die darstellende Matrix von \( T \) bezüglich \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
(c) Bestimmen Sie die Übergangangsmatrix \( \mathcal{U}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}:=\left[\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{C} \).

Das sind etwas komplizierte Aufgaben, wie genau berechne ich diese? Kann mir da jemand helfen?

Danke im Voraus!

Answer 1

a)  In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren bzw. die

Faktoren, die man braucht um die Bilder mit der vorgesehenen Basis

darzustellen. Also

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Determinante ist nicht null, also Abbildung bijektiv.

Für b) musst du die Bilder der Basisvektoren von B mit der Basis C darstellen,

also erst mal $$T(\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}$$

Das gibt 3c1 + 0c2 + 2c3 .

Die drei Zahlen 3  ,  0   ,  2   bilden die erste Spalte der Matrix. etc.

Comments

Muss ich die Determinante dazu noch ausrechnen oder darf ich das einfach so sagen?

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ich verstehe auch nicht genau wie sie auf die Matrize da kommen.

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$$\begin{pmatrix} 2x+y\\y+2z\\x+z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

Ist das so klar?

Determinante solltest du ausrechnen. Man kann aber bereits auch so sehen das die Zeilen linear unabhängig sind. Notfalls wende den Gauss an.

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Ah ich verstehe, alles klar ich rechne mal die Determinante aus, aber Vielen Dank!

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Ist die Determinante 4? Hoffe mal ich hab mich nicht vertan.

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Ja. Z.B. Regel von Sarrus

D = 2·1·1 + 1·2·1 + 0·0·0 - 1·1·0 - 0·2·2 - 1·0·1 = 4

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Ich bin bei Aufgabe b) jetzt angekommen und frage mich wie ich da weiter mache, ich habe die Abbildung auf B angewendet, ist das überhaupt richtig als erster Schritt?

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Hab was ergänzt.

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hab die Aufgabe hier geschafft, Danke!