Bestimmen, ob Reihen konvergieren oder divergieren

Question

Man soll bestimmen, ob die Reihen

a) $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ ( \frac{1}{n}  + \frac{(-1)^n}{n^2}) }$$   und 

b) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{  (\dfrac{1}{n^2}  + \dfrac{(-1)^n}{n} } ) \)

konvergieren oder divergieren.

Comments

Tipp:

Wo gestattet, könntest du die Summe in zwei Summen unterteilen. Vielleicht bringt das bei einer Teilaufgabe etwas.

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Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, was du meinst

Answer 1

a  \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ ( \frac{1}{n}  + \frac{(-1)^n}{n^2}) } \)b  \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ ( \frac{1}{n^2}  + \frac{(-1)^n}{n} )} \)

Bekannt ist

1.  \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{  \frac{(-1)^n}{n^2} } \)  konvergiert (Leibniz!)

 2.     \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)    divergiert.

Wäre a konvergent , könntest du die Differenz

 a  minus 1 bilden, die dann auch konvergieren müsste, Widerspruch !

Bei b konvergieren beide Summanden einzeln, also auch die Summe.