Bild und Kern für die Lineare Abbildung

Question

Bestimmen Sie für die folgende linearen Abbildung jeweils Kern(Lj), Bild(Lj), dim(Kern(Lj)) und dim(Bild(Lj)).

 V⊕V→V,  (v,w) → v−w, wobei dim(V) = n sei.

Answer 1

Jedes Element aus V⊕V lässt sich eindeutig als Summe zweier Elemente von V

darstellen . Sei also w ∈ V⊕V ==>  es gibt eindeutige u und v mit w = u+v.

Kern:   Sei w ∈ Kern (L) ==>   u-v = 0 ==>   u=v

Also lassen sich die Elemente des Kerns alle nur in der Form w = v+v darstellen

mit v∈ V , somit dim (Kern) = dim (V) = n.

Und es ist Bild(L) = V, denn es gehören ja insbesondere alle w = v+0 zu V⊕V

und für diese gilt L(w) = v-0 = v .

Also auch dim(Bild(L)) = n .