Aloha :)
Die gesuchte Matrix hat die Konfektionsgröße \(3\times4\)$$G=\left(\begin{array}{rrrr}g_{11} & g_{12} & g_{13} & g_{14}\\g_{21} & g_{22} & g_{23} & g_{24}\\g_{31} & g_{32} & g_{33} & g_{34}\end{array}\right)$$Wir wissen, dass bei Anwendung auf die beiden gegebenen Kern-Vektoren der Null-Vektor als Ergebis rauskommen muss:$$G\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{12}\\g_{22}\\g_{32}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}g_{13}\\g_{23}\\g_{33}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}g_{14}\\g_{24}\\g_{34}\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$G\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{11}\\g_{12}\\g_{12}\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}g_{12}\\g_{22}\\g_{32}\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}g_{13}\\g_{23}\\g_{33}\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}g_{14}\\g_{24}\\g_{34}\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Da der Spaltenvektor \((g_{11};g_{12};g_{13})^T\) in der ersten Bedinung gar nicht vorkommt, können wir die letzten 3 Spaltenvektoren der Matrix relativ frei wählen. Es soll aber auch nicht zu langweilig sein. Hier mein Vorschlag:$$G\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\stackrel{\checkmark}{=}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Setzen wir diese drei Spalten in die zweite Bedingung ein, können wir die passende erste Spalte ausrechnen:$$G\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{11}\\g_{12}\\g_{12}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-4\\-4\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}g_{11}\\g_{21}\\g_{31}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$$
Damit haben wir eine Abbildung mit dem geforderten Kern gefunden:$$G=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1 & 0\\1 & 0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0 & -1\end{array}\right)$$
