Zeigen Sie: Die obigen Abbildungen sind linear und bestimmen Sie deren Kern.

Question

Aufgabe:

 \( h: V \rightarrow V, x \mapsto x-2 \frac{\langle x, w\rangle}{\langle w, w\rangle} w \), wobei \( V \) ein unitärer Vektorraum (also ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt) ist, \( 0 \neq w \in V \).

Zeigen Sie: Die obigen Abbildungen sind linear und bestimmen Sie deren Kern.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Kernbestimmung:

\(x\in\ker(h)\Rightarrow x=2\frac{\langle x,w\rangle}{\langle w,w\rangle} w\),

d.h. \(x\) ist ein skalares Vielfaches von \(w\), es gibt also \(c\in \mathbb{C}\)

mit \(x=cw\), folglich: \(cw=2\frac{\langle cw,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w=2cw\).

Wegen \(w\neq 0\) also \(c=0\) und damit \(x=0\). Der Kern besteht

nur aus dem Nullvektor.