Bestimmen Sie die darstellende Matrix MBB (φ) der linearen Matrix φ : V → V, A → M · A.

Question

Seien V = ℝ^2×2 der Vektorraum der 2 × 2 Matrizen und M = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) ∈ V. Sei B = { \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) } eine Basis von V .

Bestimmen Sie die darstellende Matrix M^B_B (φ)  der linearen Matrix φ : V → V, A → M · A.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Darstellende Matrix von Vektorraum von Matrizen

Stichworte: vektorraum,matrix,darstellungsmatrix

Folgende Aufgabe mit Vektorraum und Matrizen:

Gegeben ist $$V = R^{2x2}$$ als der Vektorraum der 2 x 2 Matrizen

Dazu ist noch
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in V.$$ gegeben. Und dazu noch eine Basis B des Vektorraumes V:

$$B =\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}$$

Mit diesen Informationen sollen wir die Darstellende Matrix bestimmen:

Die Darstellende Matrix: $$M_B^B (\delta)$$ der lineare Matrix$$\delta : M -> M, A |-> M * A $$

Kann mir jemand beim Lösen der Aufgabe helfen, komme da nicht weiter und weiß nicht wie ich anfangen soll

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Schau mal:

https://www.mathelounge.de/753260/bestimmen-die-darstellende-matrix-mbb-der-linearen-matrix

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie die darstellende Matrix MBB (ϕ) der linearen Matrix ϕ : V → V, A 7→ M · A.

Stichworte: darstellungsmatrix

Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?

Seien V = R^2x2 der Vektorraum der 2 x 2 Matrizen und $$ M = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) $$ ∈ V

Sei B = { $$\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) $$ $$  \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) $$  $$ \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $$ $$ \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $$ }

eine Basis von V. Bestimmen Sie die darstellende Matrix MBB (ϕ) der linearen Matrix ϕ : V → V, A 7→ M · A.

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Stimmt die Frage nun exakt mit den "Duplikaten/Versionen" in den Kommentaren überein?

Wenn Zahlen nicht genau, bitte Antworten und Kommentare nach Datum zusammen lesen.

Answer 1

Wohl so: Matrix MBB (φ)  der linearen ABBILDUNG φ : V → V, A → M · A.

In den Spalten dieser Matrix stehen die Koeffizienten, die man braucht um

die Bilder der Basisvektoren darzustellen, also für die erste Spalte:

φ(\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \)

also 1. Spalte

1
0
3
0

etc.

Answer 2

Aloha :)

Du brauchst eigentlich nur die Bilder der 4 Basis-Matrizen:$$\mathbf B_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf B_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf B_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf B_4=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$durch Multiplikation mit der Matrix \(\mathbf M\) zu berechnen:$$\mathbf M\cdot\mathbf B_1=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\3 & 0\end{pmatrix}=1\cdot\mathbf B_1+0\cdot\mathbf B_2+3\cdot\mathbf B_3+0\cdot\mathbf B_4$$$$\mathbf M\cdot\mathbf B_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 3\end{pmatrix}=0\cdot\mathbf B_1+1\cdot\mathbf B_2+0\cdot\mathbf B_3+3\cdot\mathbf B_4$$$$\mathbf M\cdot\mathbf B_3=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\4 & 0\end{pmatrix}=2\cdot\mathbf B_1+0\cdot\mathbf B_2+4\cdot\mathbf B_3+0\cdot\mathbf B_4$$$$\mathbf M\cdot\mathbf B_4=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2\\0 & 4\end{pmatrix}=0\cdot\mathbf B_1+2\cdot\mathbf B_2+0\cdot\mathbf B_3+4\cdot\mathbf B_4$$und kannst dann daraus die Spalten der darstellenden Matrix ablesen:$$M^B_B(\varphi)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 2\\3 & 0 & 4 & 0\\0 & 3 & 0 & 4\end{pmatrix}$$