Question

Finden Sie eine darstellende Matrix der linearen Abbildung L: ℙ₂ → ℙ₂ defi-
niert durch
L(1) = −1−x−2x², L(x) = −1−x+2x², L(x²) = −2+2x+2x²,
indem Sie zunächst die darstellende Matrix zur Basis ϐ = {1, x, x²} berechnen
und anschließend diagonalisieren.
Hinweis: Um die darstellende Matrix zu bestimmen, ist der wichtige Zusammenhang
L_ϐ= K_ϐ ◦ L ◦ K_ϐ^-1 und die Betrachtung von L_ϐeⁿ sinnvoll.

ich komme leider gar nicht zurecht mit dieser aufgabe

Answer 1

Die Spalten der Matrix sind doch durch die Bilder der Basisvektoren gegeben:

\( M= \begin{pmatrix} -1 & -1 &-2\\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}  \)

Dann ist det(M-x*E) = -(x+2)^2(x-4), also Eigenwerte -2 und 4 .

zu -2 gehören die Eigenvektoren \(  \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}  \) und \(  \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}  \)

und zu 4 gehört \(  \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}  \)

Also ist die Diagonalform bzgl. der Basis aus Eigenvektoren

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} ^{-1} \cdot M \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 0 &0\\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)