Abbildung im IR^3 finden mit variable und darstellende Matrix berechnen

Question

Gegeben seien im \( \mathbb{R}^{3} \) die Vektoren
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \text { . } $$
b) Finden Sie eine Abbildung \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x)=A x \) mit
$$ F\left(v_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ \alpha+6 \end{array}\right), \quad F\left(v_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \alpha+4 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad F\left(v_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 6 \end{array}\right) $$
für \( \alpha \in \mathbb{R} \) und berechnen Sie die darstellende Matrix \( A \) in Abhängigkeit von \( \alpha \). Ist die Matrix \( A \) eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort!

Ansatz:

a)  \( Av1=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & c & f \\ g & h & i\end{array}\right) \) \( \left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ a+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \)

 \( Av2=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ g & h & i\end{array}\right) \) \( \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ a+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & 0 & 0\\ g & h & i\end{array}\right) \)
   \( Av3=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ d & c & f \\ g & h & i\end{array}\right) \) \( \left(\begin{array}{c}5/2 \\ 1/2 \\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \)

Wie mache ich weiter(ist der Ansatz korrekt ?)

Answer 1

Aloha :)

Wir fassen die drei vorgegebenen Funktionserte in einer Matrix-Gleichung zusammen:$$A\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2 & \frac{5}{2}\\[0.5ex]1 & 1 & \frac{1}{2}\\[0.5ex]\alpha+6 & \alpha+4 & 6\end{pmatrix}$$

Daraus kannst du die Abbildungsmatrix \(A\) direkt bestimmen:

$$A=\begin{pmatrix}3 & 2 & \frac{5}{2}\\[0.5ex]1 & 1 & \frac{1}{2}\\[0.5ex]\alpha+6 & \alpha+4 & 6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2 & \frac{5}{2}\\[0.5ex]1 & 1 & \frac{1}{2}\\[0.5ex]\alpha+6 & \alpha+4 & 6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\0 & -1 & 1\\-1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$$$A=\begin{pmatrix}\frac12 & 1 & \frac32\\[0.5ex]\frac12 & 0 & \frac12\\[0.5ex]\alpha & 2 & 4\end{pmatrix}$$

Ja, die Matrix ist eindeutig.

Comments

hi danke für die schnelle antwort was bedeutet denn genau eindeutig und wird hier das inverse benutzt um die linke matrix auf die rechte seite zu bringen ?

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Wir multiplizieren die inverse Matrix von rechts an beide Seiten der Gleichung. Dadurch bleibt links die Matrix \(A\) übrig und rechts entsteht eine einfache Matrix-Gleichung zur Bestimmung von \(A\).

Da die inverse Matrix eindeutig ist, erhalten wir für \(A\) auch ein eindeutiges Ergebnis.