Lineare Abbildung: Darstellende Matrix, ker, im und invertierbarkeit

Question

Wir betrachten die lineare Abbildung f: R³ -> R³ gegeben durch:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)  -> \( \begin{pmatrix} x+z\\x-y+z\\y+z \end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix A von f bezüglich der Standardbasis S = {e1, e2, e3} von R³

b) Bestimmen Sie ker(f) und im(f), sowie die Dimensionen dieser Unterräume

c) Wieso ist f bzw. A invertierbar? Bestimme A^-1

^Hallo,

^{zur a) habe ich \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)}

bei der b) bin ich mir nicht sicher. Ist ker(a) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) richtig?

und muss man bei der c) einfach die Matrix aus a) invertieren mit der einheitsmatrix?

Vielen Dank!

Answer 1

Ist ker(a) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) richtig?

Fast, erstens heißt die Abbildung f und zweitens ist der

Kern eine Menge, müsste also so heißen:

  ker(f) ={ \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)}

mit dim (ker(f))=0

Wieso ist f bzw. A invertierbar? Weil ker(f)={ \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)}

ist f injektiv und weil Bild(f) = ℝ^3 ist f surjektiv. Also f bijektiv und somit umkehrbar.

i Bestimme A^(-1)  wie du es geschrieben hast, es gibt dann

2      -1       -1
1     -1         0
-1      1        1.