Lineare Abbildung und darstellende Matrix

Question

Gegeben sei die lineare Abbildung
$$ \mathcal{L}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v=\left(\begin{array}{c} {v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}} \end{array}\right) \mapsto \mathcal{L}(v)=\left(\begin{array}{c} {v_{2}-2 v_{3}} \\ {2 v_{1}-v_{2}+4 v_{3}} \\ {v_{1}-v_{2}+3 v_{3}} \end{array}\right) $$
(a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen \( \mathcal{E} \) Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) an.
(b) \( \mathcal{B}=\left(b_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)\right) \) ist ebenfalls eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} . \) Bestimmen Sie die Basis-
wechselmatrizen von der Basis \( \mathcal{B} \) zur Basis \( \mathcal{E} \) und umgekehrt.
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( M_{B}^{B}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \).
(d) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes sowie eine Basis des Kerns von \mathcal.

>Doppelung gelöscht<

Answer 1

Das Standard-Programm erstmal ohne viel Worte - ggf. Rückfragen:

Grundlagen: https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/zNtvcrTu

\(\small \epsilon M\epsilon \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&1&-2\\2&-1&4\\1&-1&3\\\end{array}\right) \)

\(\small \epsilon M\epsilon \; \left(\begin{array}{r}v_1\\v_2\\v_3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}v_2 - 2 \; v_3\\2 \; v_1 - v_2 + 4 \; v_3\\v_1 - v_2 + 3 \; v_3\\\end{array}\right)\)

Bei mir heißt die Basis \(\kappa\): Basiswechselmatrizen

\(\small \epsilon T\kappa \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&-1\\1&0&2\\0&1&1\\\end{array}\right) \)

\(\small  \kappa T\epsilon \, :=  \, \epsilon T\kappa^{-1}  =  \, \left(\begin{array}{rrr}2&-1&4\\1&-1&3\\-1&1&-2\\\end{array}\right)\)

\(\small \kappa M\kappa \, :=  \, \kappa T\epsilon \; \epsilon M\epsilon \; \epsilon T\kappa \)

d) ist unvollständig..