Darstellende Matrix für lineare Abbildungen bestimmen

Question

Hallo Leute,

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ich soll die darstellende Matrix \( DM (F) \) für die lineare Abbildung \( F: Pol_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow Pol_{2}(\mathbb{R}) \) bestimmen, wobei \( Pol_{2}(\mathbb{R}) \) die Menge der Polynome von Grad höchstens 2 (als Abbildungen) mit reellen Koeffizienten und Unbekannten \( x \) bezeichnet.

Dazu soll ich hierfür die Standardbasis dieses Raumes, bestehend aus den Monomen, die die Koordinaten in der Darstellung bestimmen. Die Abbildung selbst ist dabei eindeutig beschrieben durch:

\( F (2x^{2} +5x)= 3x + 3 \),  \( F (\frac{x}{2}+1)= 6x^{2} + 1 \),  \( F (26)= 78  \)

Ich sitze seit Stunden an der Aufgabe und habe nicht wirklich einen Ansatz :(

Answer 1

Du brauchst also die Bilder der Monome.

\(F(1) = F(\frac{26}{26}) = \frac{1}{26}\cdot F(26) = \frac{1}{26}\cdot 78=3\)

Und es ist 3=3*1 + 0*x + 0*x^2

Also ist die erste Spalte der Matrix bekannt

3  ?   ?
0   ?   ?
0   ?    ?

Jetzt kommt das nächste Monom dran      x. Ver wende

\( F (\frac{x}{2}+1)= 6x^{2} + 1 \)  und   F(1)= 3 

==> \( F (\frac{x}{2}+1)= F (\frac{x}{2})+F(1)= F (\frac{x}{2})+3=   6x^{2} + 1 \)

==>\frac{1}{2}  F (x)+2=  6x^{2}  \)

==>\frac{1}{2}  F (x)=  6x^{2} - 2  \)

==>\(  F (x)=  12x^{2} - 4  \)   

Und du kennst die Matrix schon genauer:

3  -4    ?
0   0   ?
0   12   ?

Und aus \(F (2x^{2} +5x)= 3x + 3 \)

kannst du so auch F(x^2) bestimmen.

Answer 2

Hallo

die Standardbasis ist 1,x,x^2

dann sind die Spalten der Matrix die Bilder dieser Basisvektoren,

da die Abb liner ist ist z,B, F(26)=26*F(1) also wird der erste Basisvektor auf die spalte (3,0,0)^T abgebildet, jetzt du die 2 anderen,

(linear heisst auch F(v1+v2)=F(v1)+F(v2))

Gruß lul