Begründen Sie: Sind A und B zwei reelle n × n-Matrizen mit A B = 0 , aber A = 0 und B = 0 , so gilt det(A) = 0 = det(B).

Question

Aufgabe:

Begründen Sie: Sind A und B zwei reelle n × n-Matrizen mit A B = 0 , aber A = 0 und B = 0 , so gilt det(A) = 0 = det(B).

Comments

soll wohl heißen

"...aber A ≠ 0 und B ≠ 0 , ..."

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Ja genau:

Begründen Sie: Sind A und B zwei reelle n×n-Matrizen mit AB = 0 , aber A ≠ 0 und B ≠ 0 , so gilt det(A) = 0 = det(B).

Answer 1

Aus der Rangungleichung von Sylvester

$$ \text{rang}(A)+\text{rang}(B)-n \le \text{rang}(AB) $$ folgt wegen \( \text{rang}(AB) = 0 \) sofort

$$\text{rang}(A)+\text{rang}(B) \le n $$

Da \( A\ne0 \) und \( B \ne0 \) gilt

\( \text{rang}(A) \ge 1 \) und \( \text{rang}(B) \ge 1\)

also muss \( \text{rang}(A) \le n-1 \) und \( \text{rang}(B) \le n-1 \) gelten.

Deshalb folgt \( \det(A) = \det(B) = 0\)