Beweisen, dass für ähnliche Matrizen A und B gilt: det(A) = det(B). [A, B ähnlich gdw B=P^{-1}AP]

Question

Wie beweise ich diese Aussage?

Zwei Matrizen \( A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) heißen ähnlich falls eine invertierbare Ma\( \operatorname{trix} P \in \mathbb{R}^{n \times n} \) existiert \( \operatorname{mit} B=P^{-\overline{1} A P} \)

Zeigen Sie folgende Aussage:

Falls \( A \) und \( B \) ähnlich sind, dann ist \( \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B) \).

Ich weiß, dass wenn die Determinante zweier Matrizen gleich sind, sind sie ähnlich.

Comments

Habt ihr den Determinantenmultiplikationssatz bereits bewiesen?

Addendum:" wenn die Determinante zweier Matrizen gleich sind,sind sie ähnlich" ist falsch. Gegenbeispiel: diag(1/2 ;2) und E.

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Ja das haben wir schon bewiesen! Ich komm leider nicht wie ich diese Aufgabe jetzt lösen muss

Answer 1

\(det(B)= det(P^{-1}A P)=det(P^{-1})det(A)det(P)=det(A) \) nach Determinantenmultiplikationssatz.