Beweisen, dass für ähnliche Matrizen A und B gilt: det(A) = det(B). [A, B ähnlich gdw B=P-1AP]

Question

Wie beweise ich diese Aussage?

Zwei Matrizen $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißen ähnlich falls eine invertierbare Ma$\operatorname{trix} P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ existiert $\operatorname{mit} B=P^{-\overline{1} A P}$

Zeigen Sie folgende Aussage:

Falls $A$ und $B$ ähnlich sind, dann ist $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$.

Ich weiß, dass wenn die Determinante zweier Matrizen gleich sind, sind sie ähnlich.

Comments

Habt ihr den Determinantenmultiplikationssatz bereits bewiesen?

Addendum:" wenn die Determinante zweier Matrizen gleich sind,sind sie ähnlich" ist falsch. Gegenbeispiel: diag(1/2 ;2) und E.

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Ja das haben wir schon bewiesen! Ich komm leider nicht wie ich diese Aufgabe jetzt lösen muss

Answer 1

$det(B)= det(P^{-1}A P)=det(P^{-1})det(A)det(P)=det(A)$ nach Determinantenmultiplikationssatz.