Ähnliche Matrizen (Ist mein Beweis richtig? )

Question

Zeigen ,dass : sind A,B ähnliche Matrizen, so ist A invertierbar genau dann wenn B invertierbar ist.

Mein Beweis :

wenn zwei Matrizen A und B ähnlich sind , dann es gilt :  A=S^-1BS

So ich muss die beide Richtungen beweisen.

Erstmal nehme ich an,dass B invbar ist dann :

A * (S^-1BS)^-1 = A * S^-1*B^-1*S = S^-1*B*S*S^-1*B^-1*S= I  

also A ist invbar mit A^-1 = S^-1*B^-1*S

dann die andere richtung ich nehme an , dass A invbar ist und B = S^-1AS

dann zeige ich dass 

B *  (S^-1AS)^-1 = B * S^-1*A^-1*S = S^-1AS* S^-1*A^-1*S  = I und daraus folgt das B invbar ist mit B^-1 = S^-1*A^-1*S

Ist so mein Beweis richtig ? 

Vielen Dank

Answer 1

wenn zwei Matrizen A und B ähnlich sind , dann es gilt :

Es gibt ein S mit   A=S^-1BS

So ich muss die beide Richtungen beweisen.

Erstmal nehme ich an, dass B invbar ist dann :

A * (S^-1BS)^-1 = A * S^-1*B^-1*S

vielleicht zum besseren Nachvollziehen mit Klammer!

= (S^-1*B*S)*S^-1*B^-1*S= I   

also A ist invbar mit A^-1 = S^-1*B^-1*S

dann die andere Richtung

ich nehme an , dass A invbar ist und B = S^-1AS

dann zeige ich dass 

B *  (S^-1AS)^-1 = B * S^-1*A^-1*S = S^-1AS* S^-1*A^-1*S  = I und daraus

folgt, dass B invbar ist mit B^-1 = S^-1*A^-1*S

Na, ist doch prima !