Aufgabe:
Wir betrachten die Menge \( P_{3}[x] \) der Polynomfunktionen \( \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) von Grad \( \leq 3 \). Dies ist ein Untervektorraum von \( \mathrm{Abb}(\mathbb{R}) \) (ohne Beweis). Wir betrachten außerdem die Abbildung
\(\varphi: P_{3}[x] \longrightarrow P_{3}[x], \quad p \mapsto p^{\prime} \text {. }\)
(a) Bestimme die darstellende Matrix von \( \varphi \) bezüglich der Basis \( 1, x, x^{2}, x^{3} \) von \( P_{3}[x] \). (Achtung unsaubere Notation! Was ist hier genau mit " 1 " oder mit " \( x{ }^{2 "} \) gemeint?)
(b) Bestimme die darstellende Matrix von \( \varphi^{2} \) bezüglich der Basis aus (a).
(c) Zeige, dass auch \( 1,1-x,(1-x)^{2},(1-x)^{3} \) eine Basis von \( P_{3}[x] \) ist und bestimme die darstellende Matrix von \( \varphi \) bezüglich dieser Basis.
Ansatz:
a) Seien \( 1, x, x^{2}, x^{3} \) eine Basis von \( P_{3}[x] \). Die Spalten der Darstellenden Matrix sind Bilder der Basisvektoren. Es gilt
\(P_{3}[x]=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\)
\( \begin{array}{l}P_{3}[X]=1 \cdot x^{0} + 0 \cdot x+0 \cdot x^{2}+0 \cdot x^{3} \\ P_{3}[X]=0 \cdot x^{0}+1 \cdot x+0 \cdot x^{2}+0 \cdot x^{3} \\ P_{3}[X]=0 \cdot x^{0}+0 \cdot x+1 \cdot x^{2}+0 \cdot x^{3}\\ P_{3}[X]=0 \cdot x^{0}+0 \cdot x+0 \cdot x^{2}+1 \cdot x^{3} \\ \text { Als Matrix: }\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3}\end{array}\right)\end{array} \)
b) \(\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
c) \( \begin{array}{l}\varphi(1-x)=\varphi(1)-\varphi(x)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \\ \varphi(1-x)=\varphi(1)-\varphi(x)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \\ \varphi\left((1-x)^{2}\right)=\varphi\left(x^{2}-2 x+1\right)=\varphi\left(x^{2}\right)-2 \cdot \varphi(x)+\varphi(1)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\end{array} \)
Ich bin mir unsicher, bei der darstellenden Matrix von \( \varphi\), bräuchte da Hilfe, falls meine Matrix falsch ist. Um zu zeigen, das c) eine Basis ist muss man Lineare Unabhängigkeit und auf ein Erzeugendensystem prüfen. Wie genau kann ich da vorgehen?
Danke für jede Hilfe!
