Lineare Abbildung zeigen und darstellende Matrix zu Bilinearform bestimmen

Question

Ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe.

Ich habe mir bereits Lösungswege überlegt, aber ich komme dennoch nicht richtig weiter, da ich nicht weiss, wie ich richtig anfangen soll. Es wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand helfen könnte. Die Aufgabe befindet sich im Anhang.

Text erkannt:

Es sei der \( n \)-dimensionale \( \mathbb{K} \)-Vektorraum \( V \) und die Bilinearform \( \alpha: V \times V \rightarrow \mathbb{K} \) mit \( n \times n \) darstellende Matrix \( A \) im Bezug zur Basis \( \mathcal{B}= \) \( \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) von \( V \). Es seien die Abbildungen
\( \begin{array}{l} f_{\alpha}: V \rightarrow V^{*}, \quad v \mapsto \alpha(v,-) \text { mit } \alpha(v,-): w \mapsto \alpha(v, w) . \\ g_{\alpha}: V \rightarrow V^{*}, \quad v \mapsto \alpha(-, v) \text { mit } \alpha(-, v): w \mapsto \alpha(w, v) . \end{array} \)
a) Zeigen Sie: \( f_{\alpha}, g_{\alpha} \) sind lineare Abbildungen.
b) Bestimmen \( \operatorname{Sie}_{\mathcal{B}} \mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f) \) und \( { }_{\mathcal{B}} \mathcal{M}_{\mathcal{B}}(g) \).
c) Sei \( \mathcal{B}^{\prime} \) eine neue Basis von \( V \). Bestimmen \( \operatorname{Sie}_{\mathcal{B}^{\prime}} \mathcal{M}_{\mathcal{B}^{\prime}}(f) \) und B \( ^{\prime} \mathcal{M}_{\mathcal{B}^{\prime}}(g) \).

Comments

Ich verstehe die Aufgabe noch nicht: Wenn f in den Dualraum von V abbildet, müsste dann die Abbildungsmatrix nicht von einer Basis dieses Dualraums abhängig und nicht nur von B?

Answer 1

zu a)   f_α ist die Abbildung, die jedem v∈V die Linearform

zuordnet, die entsteht, wenn man bei α das erste  Argument fest

mit v belegt. Das ist linear, weil α in der ersten Komponente

linear ist, also z.B. zu v+w die

Linearform zugeordnet wird, bei der die erste Komponente v+w

fest ist. Und das ist das gleiche wie die Summe der

Linearformen mit festem v und mit festem w. etc.

Comments

Danke schon einmal für die Antwort.

Wie gehen denn b) und c) ? Wie kann man eine Matrix bestimmen wenn man nur diese Abbildungen hat ?