Es sei die Basis C= (\( \begin{pmatrix} -2\\-1\\0\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\0\\-3\\-1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\0\\2\\1 \end{pmatrix} \)) des ℝ4 gegeben. Weiter sei B die Bilinearform auf ℝ4 mit darstellender Matrix C⟨B⟩C =\( \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \).
a) bestimmen Sie die Signatur der Bilinearform B.
b) bestimmen Sie die darstellende Matrix A = E⟨B⟩E bezüglich der geordneten Standardbasis E= (e1, e2, e3, e4) des ℝ4.
c) bestimmen Sie eine geordnete Basis D=(d1,d2,d3,d4), sodass A'=D⟨B⟩C von der Form
∈ Mat(4×4, ℝ) ist.
d) ist die Bilinearform B positiv definit?
Ansatz:
ich bin mir mit Bilinearformen im allgemeinen noch nicht so sicher.
Kann man bei a) die Signatur einfach ablesen? Aber wie bekomme ich dann den σ0 Eintrag heraus, das müsste doch die Vielfachheit sein....
Muss ich bei b) Et * B * E ausrechnen? Eigentlich müsste doch eine 4×4 Matrix herauskommen.
Bei c) habe ich garkeinen Anatz, da mir ja auch die Signatur schon fehlt.
Zu d) weiß ich nur, dass ⟨v,v⟩>0 sein müsste damit B positiv definit ist, aber was heißt das genau, bzw. ist es positiv definit?
