Sei A eine reelle symmetrische Matrix. Zeige, dass die zugehörige Bilinearform genau dann positiv definit ist..

Question

Sei A eine reelle symmetrische Matrix. Zeige, dass die zugehörige Bilinearform < a,b >  =  a^t Ab genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.

Answer 1

Vielleicht geht es 8in der einen Richtung) so:

Jede reelle symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Es gibt also eine Diagonalmatrix D, die

in der Hauptdiagonale genau die Eigenwerte von A enthält und eine invertierbare Matrix T mit

T^-1 * A * T = D also   A = T * D * T^-1 .

Sei A eine nxn-Matrix und sei nun die zugehörige Bilinearform <..,..>  positiv definit,

dann gilt für u,v ∈ ℝⁿ  u^t * A * v > 0.

==>    u^t *  T * D * T^-1 . * v > 0.      #

Da T und  T^-1  aus GL(n , ℝ) gibt es zu jedem i ∈ {1,...,n} zwei Vektoren u und v aus ℝⁿ mit

 T^-1 . * v  =  e_i  und      u^t *  T = e_i^t , wobei e_i der i-te kanonische Einheitsvektor ist.

Dann wird aus #      e_i^t  * D *   e_i   > 0 und das ist das i-te Diagonalelement von D.

Also sind alle Diagonalelement von D positiv, und das sind genau die Eigenwerte von A.

Comments

Warum gilt u^t * A * v > 0 ?

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dass die zugehörige Bilinearform < a,b >  =  a^t Ab genau dann positiv definit ist ..........

also, wenn sie  positiv definit ist, dann gilt ja < a,a >   > 0  für alle v ≠  0.

Da hatte ich was übersehen. Aber vielleicht lässt sich das ja noch retten,

dass man nachher ein Argument findet, dass u=v.