Zeigen Sie: A besitzt genau dann maximalen Rang, wenn A^{\top} A spd (symmetrisch und positiv definit) ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{M \times N} \) mit \( M \geq N \)

Zeigen Sie: \( A \) besitzt genau dann maximalen Rang, wenn \( A^{\top} A \) spd (symmetrisch und positiv definit) ist.

Ich verstehe die Aufgabe leider nicht. Wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. Danke im voraus

Answer 1

(a) Sei \( A^T A \) positv definit, dann ist \( A^T A \) invertierbar und hat deswegen vollen Rang. \( A^T A \) ist eine \( N \times N \) Matrix.

Wegen \( \text{Rang}(A) = \text{Rang}(A^T A) = N \) folgt, \( A \) hat maximalen Rang.

(b) Wenn \( A \) maximalen Rang hat gilt für \( x \ne 0 \) gilt \( x^T A^T A x = (A x)^T (A x) = \| Ax \|^2 > 0 \) weil \( A \) injektiv ist.