Behauptung: Nur Einheitsmatrix ist symmetrisch, positiv definit und außerdem unitär. Beweis?

Question

Wie kann ich denn zeigen, dass wenn eine Matrix symmetrische und positiv definite Matrix und außerdem unitär ist, nur die Einheitsmatrix sein kann?

Answer 1

Für eine reelle Matrix \( A \) kann man das so beweisen.

Symmetrisch heisst \( A = A^T \), unitär heisst \( A A^T = I \) und positiv definit heisst, alle Eigenwerte von \( A \) sind größer Null.

Es gilt, mit einer geeigneten Transformationsmatrix \( S \)  \( I = A A^T = A A = S D S^T S D S^T = S D^2 S^T \) also \( D^2 = I \) also \( d_{ii}^2 =1 \) also \( d_{ii} = \pm 1 \)

Da auf der Diagonalen von \( D \) die Eigenwerte von \( A \) stehen und diese alle größer Null sind, folgt \( d_{ii} =1 \), also \( D = I \)

also \( A = S D S^T = S I S^T = S S^T = I \)