Konvergenzradius von Summe (4^n+4^{-n})/n * z^n

Question

Guten Tag MatheLounge,

ich versuche zurzeit den Konvergenzradius von $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n+4^{-n}}{n}z^n $$ zu berechnen aber komme nicht weiter.

Habe zurzeit mit dem Wurzelkriterium: $$\sqrt[n]{\frac{4^n+4^{-n}}{n}*z^n}$$

komme aber nicht weiter.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

BlackFrost

Comments

Was ist der Sinn der Wurzel genau?

Warum hast du noch ein z^n unter der Wurzel?

Soll der Grenzwert dieser Wurzel bereits der Konvergenzradius sein?

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Wurzelkriterium 

Du kannst nun |z| vor die Wurzel nehmen. Aber dann: Oben und unten separate Wurzeln schreiben?

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Ich soll von der oben angegebenen Reihe den Konvergenzradius bestimmen.
Habe mir schon dutzende Male das Wurzelkriterium bzg. des Konvergenzradiuses durchgelesen.

Wie soll ich denn von $$4^{-n}$$ die n-te Wurzel ziehen ?
Wenn -n negativ ist geht es ja nicht.

$$\frac{\sqrt[n]{4^n+4^{-n}}}{\sqrt[n]{n}} |z| $$

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Bruch in der letzten Zeile (lasse n gegen unendlich gehen) :

Oben ist der Grenzwert wohl 4, da 4^{-n} gegen 0 geht.

Unten ist der Grenzwert 1.

Du solltest einfach jeweils anschreiben, was du gerade ausrechnest. Das lässt sich einfacher korrigieren und du hast auch bei einer Repetition vor einer Prüfung weniger Mühe, deine alten Überlegungen wieder zu verstehen. Also z.B. r = .... oder lim... oder so.

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Wie würde ich dann den Konvergenzradius angeben?
Einfach $$r=\frac{4}{1}|z|$$ ?

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Genau. Das ist halt das Problem, wenn du nicht hinschreibst, was du da gerade tust.

Im Link oben siehst du.  .

.. konvergiert

Im Link an dieser Stelle dann:

Nun kannst du die beiden Rechnungen vergleichen und vermuten, dass du

4/1 * |z| < 1 haben solltest, damit deine Reihe konvergiert.

==> |z| < 1/4

Also ist der Konvergenzradius r = 1/4 und die Mitte des Konvergenzbereichs liegt bei z=0.

Zur Kontrolle auch noch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(4%5En%2B4%5E(-n))%2Fn+*+z%5En 

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Das Problem ist die Definition sagt mir nichts.
Habe es nicht wirklich verstanden, sieht mir zu willkürlich aus.

Ich rechne mal weiter.

Vielen Dank für deine Mühe!

BlackFrost

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Habe es nicht wirklich verstanden, sieht mir zu willkürlich aus.

Ich rechne mal weiter.

Wer sagt denn, dass du das Wurzelkriterim nehmen sollst? Könnte sein, dass es mit dem Quotientenkriterium weniger willkürlich aussieht.

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Hast recht.
Habe nun ein paar Aufgaben durchgerechnet, ist mir nun verständlicher geworden.

Vielen Dank Lu!

BlackFrost

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Bist Du sicher, dass die Reihe mit n=0 startet? Die 0 steht im Nenner, die Division durch 0 ist nicht definiert.

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Mein Fehler, n=1.

Answer 1

Hallo BlackForest,

@LU @Mathef @Mathecoach @Wolfgang @die Anderen Guten hier ;-), ich würde mich freuen, wenn ihr meine Antwort einmal kurz validieren könntet!

ich habe das mal durchgerechnet. Für z^n gilt dann die normale Formel des Konvergenzradius:

Bitte einmal zur Überprüfung!!!

Comments

Hallo Fragensteller, wo hast Du das z gelassen? Das gehört mit zu den Folgengliedern.

Beste Grüße
gorgar

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@gorgar: Wenn man den Konvergenzradius einer Poteznreihe nach dieser Formel https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius berechnet, lässt man das z^n weg. Aber gut, dass du auf n=0 hinweist.

@Fragesteller:

Dort, wo alles auf einen Bruchstrich kommt, musst du oben vor die Klammer (n+1) und nicht n schreiben. Ist dann aber nicht weiter schlimm. Du kannst in

(n+1)/n  * Bruch

aufteilen.

Und den Grenzwert für beide Brüche einzeln bestimmen.

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"...lässt man das zⁿ weg."
Uuuuuups, ja sorry.

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Achso, danke Lu. Habs auch nochmal nachgerechnet, hast recht, verändert mein Ergebnis (zum Glück) nicht. Danke auch nochmal für die Überprüfung!