Aufgabe Konvergenzradius:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen, wobei \( a \in \mathbb{R}: \)
a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a^{n^{2}} z^{n} \)
b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{n^{2}} \)
c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{(-1)^{n} a}{n}\right)^{n^{2}} z^{n} \)
d) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{a}{k}\right)^{k}\right) z^{n} \)
LÖSUNG:
a) \( \left|a^{n^{2}}\right|^{\frac{1}{n}}=|a|^{n} . \) Der Konvergenzradius ist also \( \propto \) für \( |a|<1,1 \) für \( |a|=1 \) und 0 für \( |a|>1 \)
b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a^{n} z^{n^{2}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{k} z^{k} \operatorname{mit} a_{k}=a^{n} \) falls \( k=n^{2}, n \in \mathbb{N}, a_{k}=0 \) sonst. Die Folge \( \left|a_{k}\right|^{1 / k} \)
besitzt die Häufungswerte \( 0 \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty } a^{\frac{1}{n}}=1, \) falls \( a \neq 0 . \) Der Konvergenzradius ist also 1 für \( a \neq 0 \) und \( \infty \) falls \( a=0 \)
c) Die Folge \( \left|\left(1+\frac{(-1)^{n}·a}{n}\right)^{n^{2}}\right|^{\frac{1}{n}}=\left|1+\frac{(-1)^{n}·a}{n}\right|^{n} \) hat die Häufungspunkte \( \mathrm{e}^{a} \) und \( \mathrm{e}^{-a} \).
Der Konvergenzradius ist somit \( \frac{1}{\max \left\{\mathrm{e}^{a}, \mathrm{e}^{-a}\right\}}=\mathrm{e}^{-|a|} \)
d) Ist \( a \in \mathbb{N} \backslash\{1\}, \) so ist der \( a \) -te und alle weiteren Koeffizienten gleich \( 0 . \) Die Reihe hat unendlichen Konvergenzradius, da sie in Wirklichkeit ein Polynom ist. Andernfalls liefert das Quotientenkriterium: \( \left|\frac{z^{n+1} \prod \limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{a}{k}\right)^{k}}{\sum \limits_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a}{k}\right)^{k}}\right|=|z|\left|1-\frac{a}{n+1}\right|^{n+1} \rightarrow \frac{|z|}{e^a} \)
Die Reihe konvergiert also für \( |z|<\mathrm{e}^{a} \) und divergiert für \( |z|>\mathrm{e}^{a} . \) Der Konvergenzradius ist daher \( e^a \).
Irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht: Bis jetzt haben wir immer den Konvergenzradius mit Quotienten/Wurzel-Kriterium bestimmt, aber hier wurde etwas ganz anderes gemacht. Kann mir jemand den Ansatz bzw. die generelle Idee erklären?
