Aufgabe:
Cauchy-Produktformel für Geometrische Reihen
a) Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt von \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n} \) mit sich selbst \( (|q|<1) \)
b) Berechnen Sie \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n q^{n} \) für \( |q|<1 \)
c) Was ist \( \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots ? \)
LÖSUNG:
Zur Wiederholung der Cauchy-Produktformel: sind \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) absolut konvergent dann ist auch die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \) mit \( c_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k} \) absolut konvergent und es gilt $$ \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}\right)=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n}\right) $$
a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n} \sum \limits_{m=0}^{\infty} q^{m}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k} q^{n-k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n} . \) Da beide Faktoren absolut konvergent
sind ist auch die Reihe rechts absolut konvergent.
b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n q^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^{n}=\frac{1}{(1-q)^{2}}-\frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^{2}}, \) da
c) \( \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}=2 \)
Ich habe diese Aufgabe mit Lösungen, die a) verstehe ich auch, aber ich verstehe den Ansatz bei der b) nicht (den ersten Schritt). Könnte mir jemand helfen?
