Summe und Produkt in Cauchy(Q) sind verträglich mit ~

Question

Hi ich bin im Körper der rationalen Cauchyfolgen, Cauchy(Q).

nun die relation ~ definiert eine Nullfolge

Die aufgabe ist: Summe und Produkt in Cauchy(Q)  sind verträglich mit ~, d.h. a,b,a',b' /in Cauchy(Q) mit
a~a' und b~b' ⇒

1. (a+b)~(a'+b')
2. (a*b)~(a'*b')


Zu 1.:
Seien c,d Nullfolgen, sodass  a+c=a' und b+d=b'
Da c und d nullfolgen sind, ist auch c+d Nullfolge
Also:
a'+b' = (a+c)+(b+d) = (a+b)+(b+d)
=> (a+b)~(a'+b')

Zu 2.: weiß ich nicht wie ich das genau machen soll, da die folgende Kernidee weiter ausgeführt werden soll:

|a*b - a'b'| ≤ |a*b - a*b'| + |a*b' - a'*b'|

Nun weiß ich nicht genau wie ich ran gehen soll..

ich würd wieder c,d Nullfolgen, sodass  a+c=a' und b+d=b' und auch c*d Nullfolge.

wie komm ich nun zur kernidee?

Answer 1

Du brauchst doch sowas wie |a*b - a'b'| < epsilon

und mit

|a*b - a'b'| ≤ |a*b - a*b'| + |a*b' - a'*b'|

= |a*(b - b')| + |(a* - a'*)b'|

= |a|*|b - b'| + | a* - a'*|* |b'|

= |a|* epsilon1 + epsilon2 * |b'|

und dann hast du es doch ?