Cauchy-Produkt mit sich selbst

Question

Aufgabe:

Sei a_n :=(−1)ⁿ /(\( \sqrt{n+1} \)) für alle n ∈ N. Die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} \) konvergiert. Zeigen Sie hier, dass ihr “Cauchy-Produkt” mit sich selbst, also die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{c_n}\) mit cn := \(\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}\)  (\( \sum\limits_{k=0}^{n}{a_ka_n-k} \)) für alle n ∈ N divergiert.
Hinweis/schlechter Wortwitz: Verwenden Sie eine mittelmäßige Abschätzung

Problem/Ansatz

Meine Lösung:$$\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{\sqrt{1}}}\cdot (-1)n}\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{1}} \cdot (-1)n\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)n}} \\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)k+n-k}}\\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)k\cdot (-1)n-k}} $$\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{1/\sqrt{1}} \) * (-1)ⁿ = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{1}} \) * (-1)ⁿ = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)ⁿ}} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)^k+n-k}} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)^k*(-1)^n-k}} \)

\(a_{k} = a_{n-k} \implies \) Divergiert

Ich hab das Gefühl, dass das falsch ist, weil die Aufgabe ganze 5 Punkte gibt und ich keine "mittelmäßige Abschätzung" gemacht habe. Trotzdem bekomme ich ja ein richtiges Ergebnis raus. Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Welcjhes a_k hast du denn in die Formel für c_n eingesetzt?

Answer 1

Das Cauchy-Produkt hat schon mathef bestimmt.

Nun fehlt noch die "mittelmäßige" Abschätzung. Dabei bezieht sich "mittelmäßig" wohl auf die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel:

Für \(a,b\geq 0\) gilt \(\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}2 \quad (1)\).

Das wenden wir an auf

\(|c_n| =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1} {\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1} } \stackrel{(1)}{\geq}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{2}{k+1 + n-k + 1}= 2\frac{n+1}{n+2}\)

Damit bildet \(c_n\) keine Nullfolge und die Cauchy-Produkt-Reihe ist divergent.

Comments

Perfekt, jetzt hab ich's verstanden :)

Eine Frage noch, wie kommt man beim letzten Schritt von \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{2}{k+1+n-k+1}} \) auf 2\( \frac{n+1}{n+2} \) ? Da das k ja wegfällt, wäre ich auf sowas wie \( \frac{2}{2+n} \) gekommen.

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Vergiss nicht das Summenzeichen.

Du hast nach der Abschätzung n+1 gleiche Summanden: k=0..n.

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Ich dachte, dass vielleicht das Summenzeichen wegfällt weil k wegfällt. Also ist das Ergebnis am Ende \( \sum\limits_{k=0}^{n}{2\frac{n+1}{n+2}} \) ?

Würde das Summenzeichen wegfallen, hätte man ja eine Folge c_n, die gegen 2 konvergiert. Somit wäre dann \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) c_n eine divergente Reihe. Aber was tue ich jetzt, wenn das Summenzeichen bleibt? Dann habe ich \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) c_n und kann doch damit, dass die Folge c_n konvergiert, nichts mehr anfangen, oder? Wegen dem doppelten Summenzeichen

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Ich empfehle, für n=1 und n=2  die Summen einmal konkret aufzuschreiben.

So bekommst du eine Vorstellung, wie die Rechnung im allgemeinen Fall funktioniert.

Rumraten hilft da wenig.

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Alles klar, das mit dem Summenzeichen ergibt jetzt Sinn, es kommt dasselbe raus, für z.B. n=2 erhalte ich bei

\( \sum\limits_{k=0}^{n=2}{} \) \( \frac{2}{k+1+n-k+1} \) = \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{1}{2} \) +\( \frac{1}{2} \) = \( \frac{3}{2} \)

und bei \( \sum\limits_{k=0}^{n=2}{} \) 2\( \frac{n+1}{n+2} \) = 2\( \frac{2+1}{2+2} \) = \( \frac{3}{2} \).

Jetzt verstehe ich, wieso dass Summenzeichen bleibt, aber wie zeige ich jetzt, dass c_n keine Nullfolge ist und somit \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) c_n divergent ist? Ich weiß, dass \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) 2\( \frac{n+1}{n+2} \) (weil 2\( \frac{n+1}{n+2} \) keine Nullfolge ist. Ich weiß aber nicht, wie sich eine Reihe über eine andere Reihe (also \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) 2\( \frac{n+1}{n+2} \) verhält, und ob man mit der Aussage, dass die hintere Reihe divergiert, eine Aussage über das Verhalten der vorderen Reihe machen kann.

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und bei \( \sum\limits_{k=0}^{n=2}{} \) 2\( \frac{n+1}{n+2} \) = 2\( \frac{2+1}{2+2} \) = ...\).

Diese Rechnung ist falsch.

Du darfst nicht einfach ein Summenzeichen weglassen.

Bsp: \(\sum_{k=0}^2 1 = 1+1+1 = 3\). Nach deinem "Weglassfehler" würde 1 herauskommen, was offensichtlich falsch ist.

Du solltest unbedingt noch einmal die Funktionsweise des Summenzeichens wiederholen.

Noch zur Divergenz:

Wir wissen bisher, dass das Cauchy-Produkt der Reihen wie folgt aussieht:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n\) mit \(c_n = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(-1)^n} {\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1} }\)

Außerdem hat unsere Rechnung gezeigt, dass gilt

\(|c_n| \geq 2\frac{n+1}{n+2} \quad (\star)\)

Für die Konvergenz einer Reihe ist notwendig, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

Das ist wegen \((\star)\) nicht möglich.

Daher kann die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n\) nicht konvergent sein.

Answer 2

Das Cauchy-Produkt ergibt

\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n} a_k\cdot a_{n-k}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}   \frac{(−1)^k}{\sqrt{k+1} } \cdot   \frac{(−1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1} } \)

\( = \sum\limits_{n =0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(−1)^{n}} {\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1} } = \sum\limits_{n =0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(−1)^{n}} {\sqrt{n(k+1)-(k+1)^2}}  \)