Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst ist eine divergente Reihe.

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{\sqrt{1+k}}} \)

Zeigen Sie: Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst ist eine divergente Reihe.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz lautet wie folgt:

ck = \( \sum\limits_{n=0}^{k}{\frac{(-1)^k}{\sqrt{(1+n)*(1+k-n)}}} \)

Für alle n,k ∈ ℕ gilt:

\( \sqrt{(1+n)*(1+k-n)} \) = \( \sqrt{(1+n)} \) * \( \sqrt{(1+k-n)} \) >= (1 + \( \frac{n}{2} \)) * \( \sqrt{(1+k-n)} \) >= (1 + \( \frac{n}{2} \)), da n<=k und somit \( \sqrt{(1+k-n)} \) >= 1

Somit gilt |cn| >= \( \sum\limits_{n=0}^{k}{\frac{2}{n+2}} \) und dass |cn| nach dem Minorantenkriterium divergiert.

Mein Problem ist, dass ich die Divergenz von cn nachweisen soll und ich nicht weiß, wie ich das Problem weiter angehen muss, da aus der Divergenz von |cn| doch nicht die Divergenz von cn folgt.

Answer 1

Hallo

die ck müssen ja nicht divergieren , nur die Summe mit den ck, und die divergiert, wenn die ck keine Nullfolge bilden.

lul

Comments

Bin ein wenig verwirrt, könntest du es genauer erklären. Wäre nett von dir :D

---

Habe es jetzt glaube ich verstanden.

|ck| = |ck - 0|, also untersuche ich, ob ck gegen 0 konvergiert.

\( \sum\limits_{n=0}^{k}{\frac{2}{n+2}} \) lässt sich auch umschreiben in \( \frac{2k+2}{n+2} \) und dies ist >= 1, da k >= n.