Den Grenzwert einer Reihe mittels dem Cauchy-Produkt bestimmen.

Question

Aufgabe:

Den Grenzwert von \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n! * 2^n}} \) mittels dem Cauchy-Produkt bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich quadriere die Reihe, sprich an=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!*2^n}} \), bn = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!*2^n}} \)

cn = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{ak * b n-k} \) //k und n unten denken

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k! * 2^k} * \frac{1}{(n-k)!*2^{n-k}}} \)

Man könnte ja jetzt beispielsweise \( \frac{1}{k! * (n-k)!} \) mit \( \frac{n!}{n!} \) erweitern.

\( \frac{1}{2^k} \) * \( \frac{1}{2^{n-k}} \) wären ja \( \frac{1}{2^n} \)

Dann wäre ich bei:

\( \frac{1}{(n über k) * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}} \)

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. :(

Answer 1

Hallo,

- Ziehe alles aus der inneren Summer heraus, was "kein k enthält".

- Beachte, dass Du durch das "erweitern" erhältst

$$\frac{1}{n!}{ n \choose k}$$

(Du bist da mit Zähler und Nenner durcheinander gekommen, ebenso mit \(1/2^n\))

- Beachte:

$$\sum_{k=0}^n { n \choose k}=2^n$$

- Benutze die Reihe für die Exponentialfunktion.

- Denke am Ende: Da hätte ich auch gleich drauf kommen können.

Gruß Mathhilf

Comments

\( \frac{1}{2^k} \) * \( \frac{1}{2^{n-k}} \) ist doch \( \frac{1}{2^n} \)?

Und der Zähler bleibt doch 1??

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Ach so war das gemeint oder wie:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{(n über k) * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}} \)

Wird zu

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{2^n * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}} \)

?

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Ohne die Summe über k

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\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2^n * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}} \)

Wird

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} \)

Der Grenzwert von dieser Summe wäre ja die eulersche Zahl. Ist das trivial oder muss ich noch beweisen, dass e der Grenzwert ist?

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Ich gehe davon aus, dass erwartet wird, dass Du die Reihe für die Exponentialfunktion kennst, also Du nur das Ergebnis e angeben brauchst.

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Ja, also die allgemeine Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} \)

Das Cauchy Produkt ist ja dann einfach e? Und damit der Grenzwert: e berechnet?

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Ja. Und die Ausgangsreihe ist diese Reihe für den Wert x=1/2, also ist ihr Wert \(e^{1/2}=\sqrt{e}\)