Cauchy Produkt Leibniz Kriterium

Question

Aufgabe: Zeigen sie, dass die Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) (-1)^k \( \frac{1}{\sqrt{k+1}} \) konvergiert, aber ihr Cauchy-Produkt mit sich selbst divergiert

Problem/Ansatz: also, mit dem Leibniz-Kriterium hab ich gezeigt das die Reihe konvergiert, aber nicht absolut. Jedoch stehe ich auf dem Schlauch wie ich zeige das die Reihe mit dem Cauchy-Profukt mit sich selbst konvergiert.

Es gilt ja \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) c_k = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{i=0}^{k}{} \) a_i • b_k-i

_{Ich hab auch jeweils versucht zu multiplizieren aber an diesem Punkt hat es bei mir gescheitert}

Comments

Diese Frage gab es bereits mehrfach. Siehe z.B. hier.

Answer 1

Betrachte beim Cauchy-Produkt zuerst die innere Summe in Ruhe:
$$s_k=\sum_{i=0}^ka_i a_{k-i} =\sum_{i=0}^k (-1)^i\frac 1{\sqrt{i+1}}\cdot (-1)^{k-i}\frac 1{\sqrt{k-i+1}}$$$$=(-1)^k\sum_{i=0}^k\underbrace{\frac 1{\sqrt{i+1}\cdot\sqrt{k-i+1}}}_{\geq \frac 1{\sqrt{k+1}\cdot\sqrt{k+1}}}$$

Was kannst du jetzt über \(|s_k|\) aussagen? Konvergiert  \(s_k\) gegen Null?