Konvergenz einer Reihe nach dem Leibniz Kriterium nachweisen

Question

Ich wiederhole gerade Reihen Konvergenz Kriterien und wollte wissen ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe bzw. ob ich die vollständige Induktion richtig angewendet habe.

Aufgabe:

$$\text{Prüfe ob folgende Reihe konvergiert:} \\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2k-1}$$

Ansatz:

$$\text{ Zu zeigen: }  \frac{1}{2k-1} \text{ ist }  \\(i) \text{ monoton fallend} \\(ii) \text{ eine nullfolge} \\[10pt] \text{Beweis:} \\(i) \text{ Zu zeigen: } \frac{1}{2k-1} \geq \frac{1}{2(k+1)-1} \\ (I.A) k=1 \longrightarrow 1 \gt \frac{1}{3} \surd \\(I.B) \frac{1}{2k-1} \geq \frac{1}{2(k+1)-1} \\(I.S) k=k+1 \longrightarrow \frac{1}{2(k+1)-1} = \frac{1}{2(k+1)-1} \surd \\\Box \\[10pt] (ii) \frac{1}{2k-1}=\lim\limits_{k\to\infty}(\frac{1}{2k-1})=\frac{\lim\limits_{k\to\infty}1}{\lim\limits_{k\to\infty}(2k)-\lim\limits_{k\to\infty}1}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{2k}{k}-\frac{1}{k}}=\frac{0}{2-0}=0 \\[20pt] \text{ Da die Folge } \frac{1}{2k-1} \text{ monton fallend und eine Nullfolge ist} \\ \Longrightarrow \text{ konvergiert die Reihe } \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2k-1} \text{ nach dem Leibniz kriterium} \blacksquare$$

Answer 1

Für die Monotonie würde ich keine Induktion machen

(So ganz klar ist mir auch dein Ind.schluss nicht)

Sondern einfach nur   a_k ≥ a_k+1

<=>       1 / (2k-1)   ≥   1 / (2(k+1)-1)

Da alle Nenner nicht negativ.

<=>          2(k+1)-1    ≥   2k-1

<=>          2(k+1)    ≥   2k

<=>             k+1    ≥   k

Gilt offenbar für alle k∈ℕ.

Alles andere finde ich top !

Comments

Könntest du mir nur erklären was du genau mit "da alle Nenner nicht negativ sind" meinst und wie man dies überprüfen kann?

Ist dies eine hinreichende Voraussetzung, dass man erst dann den ganzen Term hoch -1 nehmen kann?