Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung. P(genau einer überzieht Konto)=? usw.

Question

Guten Morgen :-)

Ich habe mir gestern bereits einige Beispiele von den alten Fragen angesehen, würde aber gerne einige Verständnisfragen zu folgender Aufgabe stellen:

Ein Bankunternehmen weiß, dass 13% der privaten Kreditnehmer die Überziehung des Gehaltskontos als Finanzierungsform wählen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 7 zufällig ausgewählten Kunden (...) das Gehaltskonto überzieht?

Und zwar habe ich mir eine Übersicht erstellt und würde sie gerne auf Richtigkeit überprüfen lassen:

Keiner überzieht: (7 über 0) * 0,13⁰ * (1-0,13)⁷ = 0,37725

Genau einer überzieht: (7 über 1) * 0,13¹ * (1-0,13)⁶ = 0,39459

Maximal einer überzieht: 0,37725 + 0,39459 = 0,77234

Mehr als einer überzieht: 1 - 0,77234 = 0,2276752

Meine Frage lautet: Wie sieht es aus bei:

Mindestens einer überzieht

Weniger als einer überzieht

Und wenn die Frage lautet: Genau zwei überziehen? Lautet mein Weg dann:

(7 über 2) * 0,13² * (1-0,13)⁶ = 0,738884

Vielen Dank schonmal! :-)

Comments

Beachte: Binomialverteilung enthält ein n weniger, als das in deiner Überschrift war. Habe das berichtigt.

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Binomialverteilung enthält zwei n, eines im Binomialkoeffizienten und eines in der Potenz von (1-p) :-)

Answer 1

Mindestens einer überzieht

\(P(X \geq k)=1-P(X \leq (k-1))=1-P(X < k)\)

In diesem Beispiel also \(1-P(X=0) \rightarrow 1-\left( \displaystyle\binom{7}{0}\cdot 0.13^0+(1-0.13)^7 \right)\approx 62.3\% \)

Weniger als einer überzieht

\(P(X<1)=P(X=0) \rightarrow \displaystyle\binom{7}{0}\cdot 0.13^0+(1-0.13)^7=1\cdot 1\cdot 0.87^7\approx 37.7\% \)

Genau zwei überziehen?

Fast, wieso hast du die 6 im letzten Exponenten? Es gilt \(... (1-p)^{n-k} \rightarrow (1-0.13)^{7-2}=(1-0.13)^5\)

Comments

Der Exponent war ein Flüchtigkeitsfehler, danke!

Und wenn ich nun frage weniger als 2 überziehen, addiere ich dann (7 über 0) und (7 über 1) oder ist der Wert an der Stelle (7 über 1) gefragt?

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Entweder über die kumulierte Binomialverteilung, oder aufsummiert als Summe:

\(P(a\leq X \leq b)=\displaystyle\sum\limits_{i=a}^b \displaystyle\binom{7}{i}\cdot 0.13^i\cdot (1-0.13)^{7-i}\)

Also weniger als Zwei wäre dann

\(P(X \leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^1 \displaystyle\binom{7}{i}\cdot 0.13^i\cdot (1-0.13)^{7-i}\)

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Danke, alles beantwortet! :-)

Und danke auch an oswald! Ihr seid super!

Answer 2

Mindestens einer ist das Gegenereignis von Keiner

Weniger als einer ist Null

(7 über 2) * 0,13² * (1-0,13)⁶

Mach aus der 6 mal eine 5, dann stimmt das.

= 0,738884

Irgendetwas ist beim Eintippen in den TR gehörig schief gelaufen. Das kann nicht zusammen mit der W von "Genau einer überzieht" mehr als 1 ergeben.