Verträglich der Frobeniusnorm für nxn mit euklidischer Vektornorm

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Zeigen Sie, dass die Frobenius-Norm }\|\cdot\|_{F}: \mathbb{K}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \text {eine Matrixnorm auf } \mathbb{K}^{n \times n}} \\ {\text { ist, die submultiplikativ und verträglich zu der Vektornorm }\|\cdot\|_{2}: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \text {ist. }} \\ {\text { Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung }} \\ {\qquad\left(\sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}\right)}\end{array} $$

Problem/Ansatz

Verstehe schon die linke Gleichung nicht. Diese müsste ja aus $$ \|A \cdot x\|_{V} \leq\|A\| \cdot\|x\|_{V} $$ folgen wobei A hier die Frobenius Norm ist und x die euklidische Norm.

Verstehe nicht wie man dort dann auf die Gleichung kommt.

$$ \|A\|_{F}:=\sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}} $$ Ist ja die Frobeniusnorm und $$ \|x\|_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{2}} $$ die euklidische Norm

Answer 1

Also ich würde das so zeigen:

Um zu zeigen, dass die Frobeniusnorm mit der Euklidischen-Norm verträglich ist, kann man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung verwenden und erhält:
\( \left|(A x)_{i}\right|^{2}=\left|\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}\right|^{2} \leq \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{2}=\sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}\|x\|_{2}^{2} . \)
Daraus folgt dann schließlich:
\( \sum \limits_{i=1}^{m}\left|(A x)_{i}\right|^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{m} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}\|x\|_{2}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2} . \)

Comments

Wird sicherlich in Zukunft jemanden behilflich sein ☺