Vektornorm einer Funktion nachweisen

Question

Um das zu zeigen muss ich doch die 3 Eigenschaften: Positivität, Homogenität und Dreiecksungleichung zeigen?

zur Positivität hab ich mir überlegt, dass IIMxII ja aufgrund der Eigenschaften der Norm positiv sein muss oder eben = 0, wenn M eine Nullmatrix ist.

zur Homogenität habe ich folgenenden Ansatz überlegt (?): IIa*MxII = IaI*IIMxII

zur Dreiecksungleichung: IIMx + MyII < IIMxII + IIMyII

Irgendwie komm ich damit aber gar nicht weiter ??

Answer 1

> dass IIMxII ja aufgrund der Eigenschaften der Norm positiv sein muss

Das ist richtig.

> oder eben = 0, wenn M eine Nullmatrix ist.

Wenn M die Nullmatrix ist, dann ist M nicht regulär.

> IIa*MxII = IaI*IIMxII

Ich weiß nicht was du damit meinst.

Es ist

    ||ax||_M

= ||M·(ax)|| laut Definition von ||·||_M

= ||a·Mx|| wegen Gesetzen der Matrixmultiplikation 

= |a|·||Mx|| wegen Homogenität der Vektornorm ||·||

= |a|·||x||_M laut Definition von ||·||_M.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das habe ich verstanden, kann ich dann folgendes für den Beweis der Dreiecksungleich machen:

   ||x+y||_M =    ||M(x+y)||_M laut Def. der Funktion

=    ||Mx+Mx||_{M wg Eigenschaften der Matrixmultiplikation}

_</=    ||Mx||_M +    ||My||_M weil die Dreiecksungleichung für die Vektornorm ||·|| gilt

=   ||x||_M +   ||y||_M laut Definition der Funktion

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Achte darauf, wann du welche Norm verwendest. Die eine hat eine M als Index, sie ist mittels einer anderen Norm definiert, die kein M als Index hat.