Positiv definit, stets symmetrisch

Question

Sei B ∈ R^{n×n}. Ist A =  B^{T} B stets symmetrisch? Stets positiv definit? Ist x^T Ax < 0 möglich?

Answer 1

Aloha :)$$(B^TB)_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n(B^T)_{ij}B_{jk}=\sum\limits_{j=1}^nB_{jk}(B^T)_{ij}=\sum\limits_{j=1}^n(B^T)_{kj}B_{ji}=(B^TB)_{ki}$$Die Matrix \(A=B^TB\) ist also symmetrisch.

$$\left<\vec x;A\vec x\right>=\left<\vec x;B^TB\vec x\right>=\left<B\vec x;B\vec x\right>\ge0$$Die Matrix \(A=B^TB\) ist also positiv semi-definit, aber nicht positiv definit. \(\langle x;Ax\rangle<0\) ist nicht möglich.