Allgemeine Bilinearform positiv definit

Question

Hallo,

folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.

Sei b eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich erzeugten R-Vektorraum mit b(v,v) != 0 für v != 0 und b(v_0,v_0)=2022. Ich soll zeigen, dass b positiv definit ist.

Wie kann man das zeigen? Induktion? v_0 zu Basis ergänzen? Nichts klappt

Comments

Was ist denn \(v_0\) ?

---

Es ist v_0 ein beliebiger Vektor aus dem Vektorraum mit b(v_0,v_0)=2022

Answer 1

Betrachte b als stetige Funktion in V. Wenn es einen Vektor

v mit b(v,v)<0 gäbe, was könntest du mit Hilfe eines

Zwischenwertsatzes daraus schließen?

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort. Nur leider glaube ich, dass wir in lineare Algebra die Aufgabe ohne Analysis lösen sollen und zweitens kenne ich den Zwischenwertsatz nur für eindimensionale Funktionen. Gibt es einen Weg ohne analytische Hilfsmittel?

---

Es müssen analytische Eigenschaften von \(\mathbb{R}\) in die

Lösung dieser Aufgabe eingehen; denn über \(\mathbb{Q}\)

kann man leicht ein Gegenbeispiel angeben:

Betrachte die Bilinearform, die in einer Basis von \(\mathbb{Q}^2\)

die Gram-Matrix$$\left(\begin{array}{cc}2022&0\\0&-1\end{array}\right)$$besitzt.

---

Okay, weil die Funktion f von V nach R mit f(v)=b(v,v) stetig ist folgt aus der Annahme f(v)<0 wegen f(v_0)=2022>0, dass es ein w gibt mit f(w)=b(w,w)=0, also w=0.

Wie kommt hier jetzt ein Widerspruch her?

---

Der Fall \(\dim(V)=1\) ist trivial. Ist aber \(V=\mathbb{R}^n\) mit \(n\geq 2\),

dann gibt es zu \(v_0\) und \(v\) eine verbindende stetige Kurve \(\phi\), die

ganz in \(V\backslash \{0\}\) verläuft: \(\phi: [0,1]\rightarrow V\backslash \{0\}\)

mit \(\phi(0)=v_0\) und \(\phi(1)=v\).

Nun habe wir die 1-dimensionale stetige Funktion

\(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},\; t\mapsto b(\phi(t),\phi(t))\) und

auf \(f\) können wir den Zwischenwertsatz anwenden.