Folgende Aufgabenstellung:
Ich habe einige Probleme mit der Aufgabe. Vielleicht ist deswegen die ganze Aufgabe falsch. In meinen Unterlagen steht dass eine Bilinearform zwei Vektoren aus V einen Skalar aus K zuordnet. Nun habe ich V als Matrix, keinen Vektor. Ich habe aber aus der Matrix einen Vektor gemacht. Ist das zulässig in diesem Fall? Besser habe ich es nicht hinbekommen
$$ Sei\quad V\quad der\quad Vektorraum\quad der\quad symmetrischen\quad Matrizen\quad in\quad { M }_{ 22 }(R).\\ Sei\quad q\quad :\quad V\quad \rightarrow \quad R\quad definiert\quad durch\quad q(A)\quad =\quad det(A)\quad für\quad alle\quad A\quad \in \quad { M }_{ 22 }(R).\\ \\ \\ (1)\quad Beweisen\quad Sie\quad dass\quad q\quad eine\quad quadratische\quad Form\quad auf\quad V\quad ist.\\ (2)\quad Sei\quad \beta \quad die\quad zu\quad q\quad gehörende\quad Bilinearform\quad auif\quad V.\quad Untersuchen\quad Sie,\\ ob\quad \beta \quad positiv\quad definit,\quad pos.\quad semidefintit\quad oder\quad indefinit\quad ist.\\ (3)\quad Sei\quad W\quad =\quad \left\{ A\quad \in \quad V\quad |\quad Spur(A)\quad =\quad 0 \right\} .\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad W\quad ein\quad Unterraum\quad \\ von\quad V\quad ist.\\ (4)\quad Sei\quad { \beta }_{ W }\quad die\quad Einschränkung\quad von\quad \beta \quad auf\quad W,\quad also\quad \beta \quad :\quad W\quad \times \quad W\quad \rightarrow \quad V\\ definiert\quad durch\quad \beta _{ W }(A\quad ,\quad B)\quad =\quad \beta (A\quad ,\quad B)\quad für\quad alle\quad A,B\quad \in \quad W.\\ Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad \beta _{ W }(A\quad ,\quad A)\quad <\quad 0\quad ist\quad für\quad alle\quad A\quad \in \quad W\quad ,\quad A\quad \neq \quad 0. $$
$$ \\ (1)\\ q(A)\quad =\quad det(A)\quad =\quad det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } & { x }_{ 3 } \end{pmatrix} \quad =\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\\ \\ Sei\quad A\quad =\quad \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix} .\\ { A }^{ T }(S)A\quad =\quad ({ x }_{ 1 }\quad ,\quad { x }_{ 2 },\quad { x }_{ 3 })\quad \begin{pmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 21 } & { a }_{ 31 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 32 } \\ { a }_{ 31 } & a_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix} \\ \\ S\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ S\quad ist\quad symmetrisch,\quad also\quad ist\quad q\quad eine\quad quadratische\quad Form,\quad denn\\ { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\quad =\quad { A }^{ T }SA\quad =\quad \quad \beta (A\quad ,\quad A)\quad =\quad q(A).$$
$$ (2)\\ \\ \\ \beta \quad ist\quad positiv\quad definit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }\quad >\quad 0\quad und\quad { x }_{ 3 }\quad >\quad \frac { { x }_{ 2 }² }{ { x }_{ 1 } } \quad ,\\ positiv\quad semidefinitit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }\quad >\quad 0\quad und\quad { x }_{ 3 }\quad \ge \quad \frac { { x }_{ 2 }² }{ { x }_{ 1 } } \quad ,\\ \\ indefinit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\quad <\quad 0 $$
$$ (3)\\ \\ \\ Spur(A)\quad =\quad 0\\ \\ A\quad =\quad \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \\ \\ Für\quad a\quad =\quad b\quad =\quad 0\quad ist\quad Spur \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad =\quad \quad 0\quad =\quad { Spur \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }^{ T }\quad \quad \in \quad W\\ \\ Spur(A\quad +\quad B)\quad =\quad Spur\quad \begin{pmatrix} a\quad +\quad a' & b\quad +\quad b' \\ b\quad +\quad b' & -a\quad -\quad a' \end{pmatrix} \quad =\quad a\quad +\quad a'\quad -\quad a\quad -\quad a'\quad \\ \\ =\quad 0\quad =\quad \left( a\quad +\quad a' \right) -\left( a\quad +\quad a' \right) \quad =\quad Spur\quad \begin{pmatrix} a\quad & b \\ b & -a \end{pmatrix} \quad +\quad Spur\quad \left( \begin{pmatrix} a'\quad & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} \right) \quad \\ =\quad Spur\quad { \begin{pmatrix} a\quad & b \\ b & -a \end{pmatrix} }^{ T }\quad +\quad Spur\quad { \begin{pmatrix} a'\quad & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} }^{ T }\quad =\quad =\quad Spur(A)^{ T }\quad +\quad Spur(B)^{ T }\quad \in \quad W\\ \\ Spur(\alpha A)\quad =\quad Spur\begin{pmatrix} \alpha a & \alpha b \\ \alpha b & -\alpha a \end{pmatrix} \quad =\quad \alpha a\quad -\quad \alpha a\quad =\quad 0\quad =\quad \alpha (a)\quad +\quad \alpha (-a)\quad =\quad \alpha \quad Spur \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \\ =\quad \alpha \quad Spur{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} }^{ T }\quad \in \quad W $$
$$ (4)\\ \\ \\ \beta _{ W }(A\quad ,\quad B)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 } & { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } & { -x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 } \end{pmatrix}\quad -\quad det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } & { -x }_{ 1 } \end{pmatrix} \quad -\quad det\begin{pmatrix} { y }_{ 1 } & { y }_{ 2 } \\ { y }_{ 2 } & { -y }_{ 1 } \end{pmatrix} \right) \\ \\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 } \right) \left( { -x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 } \right) -\left( { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } \right) ²\quad -\quad \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ y }_{ 1 }²\quad -\quad { y }_{ 2 }² \right) \\ \\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad 2{ x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }\quad -\quad { y }_{ 1 }² \right) -\quad \left( { x }_{ 2 }²\quad +\quad 2{ x }_{ 2 }{ y }_{ 2 }\quad +\quad { y }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ y }_{ 1 }²\quad -\quad { y }_{ 2 }² \right) \right) \\ \\ =\quad -\quad { x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }\quad -\quad { x }_{ 2 }{ y }_{ 2 }\quad \\ \\ \beta _{ W }(A\quad ,\quad A)\quad =\quad -\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 1 }\quad -\quad { x }_{ 2 }x_{ 2 }\quad =\quad -\quad { x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }²\\ \\ \sum _{ i=1 }^{ 2 }{ -({ x }_{ i }²) } \quad \quad <\quad 0\quad für\quad alle\quad A,\quad wenn\quad gilt\quad A\quad \neq \quad 0. $$
