Aussagen zu Eigenwerten und Definitheit von zahlenloser symmetrischer 3x3-Matrix beurteilen

Question

Aufgabe: siehe Bild

Aussagen zu Eigenwerten und Definitheit von zahlenloser symmetrischer 3x3-Matrix beurteilen

Problem/Ansatz: Ich denke nur die 3 Aussage stimmt, da man für den rest konkrete Zahlen brauch.

Answer 1

Du musst auch die Kenntnisse über das Skalarprodukt benutzen, etwa bei 1:

<Av1,v1> = <λ1*v1,v1> = λ1*<v1,v1> = λ1*||v1||^2   und da ||v1||^2 positiv ist,

ist λ1*||v1||^2 für positives  λ1 auch positiv, also ist die Aussage wahr.  etc.

Comments

Danke. Habe es nachgerechnet also stimmen die Aussagen 1,2,3,4?

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7 stimmt auch.

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müssen bei der Aussage 4 nicht noch die anderen beiden Eigenwerten auch positiv sein damit die Matrix A positiv definit ist?

Und wieso stimmt denn die 7? Weil alle Skalarprodukte der Vektoren 0 ergeben müssen ja, aber da ist ja noch mal die Matrix A dabei...

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müssen bei der Aussage 4 nicht noch die anderen beiden Eigenwerten auch positiv sein damit die Matrix A positiv definit ist?

Ja, hatte ich ganz übersehen.   Aber:

<v2,Av3> = <v2,λ3*v3> = λ3*<v2,v3> = λ3*0 =0

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Danke ergibt Sinn. Also stimmt die 4 nicht oder?