Eigenwerte - Eigenraum bestimmen

Question

Hallo Community,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? 

Sei A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} \) mit den Eigenwerten λ1 = a-\( \sqrt{bc} \) und λ2 = -a+\( \sqrt{bc} \)

So lautet der Eigenraum mit: 

\( \begin{pmatrix} sqrt(bc) & -b \\ -c & sqrt(bc) \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) = 0 => span { \( \begin{pmatrix} sqrt(b)\\sqrt(c) \end{pmatrix} \) }

Ich habe versucht die Multiplikation mit der Matrix nachzuvollziehen aber komme nicht auf das was im span steht. Vielen Dank vorab!

Answer 1

Die Multiplikation Matrix mal (x ; y )^T gibt

x*√(bc) - y*b
-x*c  + y*√(bc)

= [offenbar sollen ja b und c nicht negativ sein ]

x*√b * √c - y*√b*√b
-x*√c*√c  + y*√b*√c

und jetzt oben √b ausklammern und unten   - √c gibt

(x*√c - y*√b)* √b
(x*√c - y*√b)* -√c

und weil oben und unten der gleiche Term in
der Klammer steht ist das ein Vielfaches von

√b 
-√c

Fehlte vielleicht in der Aufgabe das "Minus" ?