Eigenwerte Eigenraum algebraische Vielfachfacheit

Question

Bestimmen Sie alle Eigenwerte, sowie die zugehörigen algebraischen Vielfachheiten und Eigenräume der untenstehenden komplexen Matrix.

((2-i, 0, -i),(8-2i, -2, -2i),(i, 0, 2+i))

Eigenwert lambda1= ?,    lambda2 = ?

Algebraische Vielfachheit ?

Eigenraum   ?

muss ich hier Laplace Entwicklungsatz benützen.


Lösungsweg bitte.

Vielen Dank
immai

Answer 1

M = ((2-i, 0, -i),(8-2i, -2, -2i),(i, 0, 2+i))


det (  M - x*E) = -(x+2) * (x-2)² 

also   Eigenwerte

-2  einfach

+2  doppelt.


Eigenraum für 2

führt auf 

1     ( -8-2i) / 17      ( 1-4i) / 17
0            1                      2
0             0                     0 

also z3 beliebig ( z aus C )  .

z2 =  -2z 

z1 =  z2* ( 8+2i) / 17  +  z3* ( -1+4i) / 17

    =  -2z* ( 8+2i) / 17  +  z* ( -1+4i) / 17

   =  - z

also  Lösungsvektor 

( -z  ;   -2z   ;    z )  =   z * ( -1 ; -2  ;  1 ) 

also Basis des Eigenraums   ( -1 ; -2  ;  1 )  .

etc.

Comments

Det (  M - x*E) = -(x+2) * (x-2)² 

Ich hab es so versucht gestern kam aber nicht auf das rechte ergebnis.

Wie hast du geschaft das i verschwindet?

Vielen Dank

Immai