Eigenwerte und algebraische Vielfachheit und diagonalisibar?

Question

Gegeben ist die folgende Matrix.

A :=

-7 5 10

0 -7 0

0 5 3

€ R^(3×3).

Bestimmen Sie die Eigenwerte lambda 1und lambda2 von A, 
sowie jeweils die algebraische Vielfachheit e lambda i
und die geometrische Vielfachheit d lamda i für i = 1,2.
Ordnen Sie die beiden Eigenwerte aufsteigend

an.

Entscheiden Sie anschließend, ob A
diagonalisierbar ist.

Lambda1 < Lambda2

Lambda1= ??  e lambda 1= ?? d lambda 1 = ??

Lambda2= ?? e lambda2 = ?? d lambda2 = ??

?? A ist diagonalisiebar

?? A ist nicht diagonalisiebar

Für lambda 1 = 3

Und lambda 2 habe ich -7

Den rest ist frage zeichen bei mir.

Answer 1

Für lambda 1 = 3

Und lambda 2 habe ich -7

Das stimmt schon mal. Das charakteristische Polynom war (x-3)(x+7)^2

also algebraische Vielfachheit (Exponent an der Klammer) bei

3 ist das 1 und bei der -7 ist es 2.

geometrische Vielfachheit:

Lösungsmenge von

A - λ1*E = 0 bestimmen, gibt (Gauss !)  z.B.

1  -1/2    -1
0     1      0
0     0       0

Eine Nullzeile, also geom. Vielfachheit = 1.

A - λ2*E = 0 bestimmen, gibt

0   5   10
0   0     0
0    0     0

Zwei Nullzeilen, also geom. Vielfachheit = 2.

alg. und geom. stimmen überein, also

Matrix diagonalisierbar.   Mit T =

1      0     -1
0      -2     0
0      1       1

bekommst du mit T^(-^)*A*T die Diagonalmatrix.

Comments

mathef hat die Frage schon beantwortet