Sei A ∈ M (n,ℂ) und λ ein Eigenwert von A. ==>
Es gibt v ∈ℂ^n mit A * v = λ*v. ==>
$$\overline{A*v}=\overline {λ*v} ==>\overline{A}*\overline {v}=\overline{λ}*\overline {v}$$
$$\text{Also ist } \overline{λ} \text{ ein Eigenwert zum Eigenvektor }\overline {v}$$
$$\text{Der Eigenraum zu } \overline{λ} \text{ besteht also aus allenn }\overline {v}\text{ mit v aus Eλ}$$
b) Sei A nilpotent mit A^m = 0 und λ ein Eigenwert.
==> Es gibt v ≠ 0 mit A*v = λ * v
==> A^2 * v = A * ( A*v ) = A * (λ * v ) = λ*(A*v) = λ*(λ*v) = λ^2 * v
in der Art erhält man auch A^m *v = λ^m * v und laut Vor ist das 0,
also ist λ^m * v = 0 aber v als Eigenvektor nicht 0, also λ^m = 0 ,
also λ=0.