Bestimmen Sie die darstellende Matrix Mbb (p) der linearen Matrix p: V - M*A.

Question

Aufgabe:

Sei V = ℝ^2x2 der Vektorraum der 2 x 2 Matrizen und M = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) ∈ V. Sei B = {\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\1  & 0\end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) } eine Basis von V. Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_b^b (p) der linearen Matrix p: V -> V, A -> M*A.

Problem/Ansatz:

Aus Übungen ist mir der Basis wechsel zu zwei verschiedenen Basen bekannt. Nun habe ich aber kein Basis wechsel da M_b^b . Was bedeutet V->V, A -> M*A? Ist V->V eine lineare Abbildung?

Answer 1

Was bedeutet V->V, A -> M*A?

V->V bedeutet "die Menge V wird in die Menge V abgebildet"

A -> M*A bedeutet "das Element A wird auf das Element M*A abgebildet" und üblicherweise wird das

        A ↦ M*A

geschrieben (beachte die andere Art Pfeil im Vergleich zu V→V).

Bestimmen Sie die darstellende Matrix

Die Spalten sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basiselemente.

Berechne also p(b) für ein b ∈ B und stelle das Ergebnis als Linearkombination aus B dar. Die Koeffizienten bilden dann den Koordinatenvektor von b.

Verfahre ebenso mit den anderen Elementen aus B.

Comments

Das hab ich mir fast schon gedacht, leider kann ich nichts damit anfangen. Was ist A? Und was muss ich nun rechnen?

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Was ist A?

Funktionen hat man in der Schule früher so aufgeschrieben:

        f(x) = x² - 3x + 2.

Eine alternative Schreibweise dafür ist

        f: x ↦ x² - 3x + 2.

Genau so wie das x in dieser Funktion zu verstehen ist, ist auch das A in deiner Abbildung zu verstehen.

Und was muss ich nun rechnen?

Ich habe dazu meine Antwort ergänzt.

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Dann bekomm ich als antwort die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0  & 0 & 3 & 0  \\ 0  &  0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)