Auf welchen Vektor wird Richtungsvektor Spiegelung abgebildet?

Question

Aufgabe:

Die Ebene \(S_{pgl} = \{x \in\mathbb R^3: \, x = r(1 \space 1 \space-1)^T +s (0 \space 1 \space 1)^T \quad r,s \in \mathbb R\}\) ist in Punk-Richtungsform gegeben. Die lineare Abbildung σ ist als Spiegelung an der Ebene \(S_{pgl}\) definiert.

a) Auf welche Vektoren werden die Richtungsvektoren von Spgl mit σ abgebildet?

σ (1 1 -1) =

σ(0 1 1)=

Problem/ Ansatz:

Muss ich da den Gegenvektor hinschreiben oder die Basisvektoren des Bildraums?

Answer 1

Hallo,

Auf welche Vektoren werden die Richtungsvektoren von Spgl mit σ abgebildet?

Natürlich auf sich selbst. Jeder Richtungsvektor und auch jede Linearkombination von Richtungsvektoren befindet sich doch in der Spiegelebene \(S_{pgl}\) und wird folglich auf sich selbst abgebildet:$$\sigma \left( \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \\ \sigma\left( \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Die Matrix \(M\) für die lineare Abbildung lautet in diesem Fall$$M = \frac 13 \begin{pmatrix}-1& 2& -2\\ 2& 2& 1\\ -2& 1& 2\end{pmatrix}$$multipliziert man \(M\) mit einem der Richtungsvektoren, so muss als Ergebnis wieder derselbe Richtungsvektor heraus kommen.

Ein Punkt außerhalb der Ebene, wird gespiegelt. Zum Beispiel:$$P= \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}, \quad P'= \sigma(P) = M \cdot P = \begin{pmatrix}-3\\ 4\\ 1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Die Spiegelebene hat die Normale \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \). Der zu spiegelnde Punkt sei A(1|1|-1). Die Gerade \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) +k·\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \) schneidet die Spiegelebene in S(a|b|c). Die Gerade \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) +j·\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \) geht durch das Bild A' von A. Außerdem muss |\( \vec{SA} \) |=|\( \vec{SA'} \) | sein. Damit lässt sich A' bestimmen.